Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours :  

1. Énoncer la définition d'un triplet naturel.
2. Démontrer que si $(O_1,\mathcal{N}_1,s_1)$ et $(O_2,\mathcal{N}_2,s_2)$ sont deux triplets naturels, il existe une unique application bijective $f_{12} : \mathcal{N}_1\to\mathcal{N}_2$ telle que :
   $$f_{12}(O_1)=O_2$$   et$$\quad f_{12}\circ s_1=s_2\circ f_{12}\;.$$

3. Énoncer la définition de la relation $\leqslant$ sur $\mathbb{N}$.
4. Démontrer que $\leqslant$ est une relation d'ordre sur $\mathbb{N}$.
5. Démontrer que toute partie non vide de $\mathbb{N}$ possède un plus petit élément.
6. Démontrer que $\mathbb{N}$ n'admet pas de plus grand élément.
7. Démontrer que toute partie non vide et majorée de $\mathbb{N}$ possède un plus grand élément.

Exercice 1 : On appelle ensemble naturel le couple formé d'un ensemble non vide $\mathcal{N}$ et d'une relation d'ordre $\prec$ sur $\mathcal{N}$, qui vérifie les trois propriétés suivantes.

$\bullet$

$(O_1)$ toute partie non vide de $\mathcal{N}$ possède un plus petit élément ;

$\bullet$

$(O_2)$ toute partie non vide et majorée de $\mathcal{N}$ possède un plus grand élément ;

$\bullet$

$(O_3)$ l'ensemble $\mathcal{N}$ n'admet pas de plus grand élément.

Nous avons montré que $(\mathbb{N},\leqslant)$ est un ensemble naturel : la définition n'est donc pas vide. Dans ce qui suit, $(\mathcal{N},\prec)$ désigne un ensemble naturel quelconque.

1. Montrer que $(\mathcal{N},\prec)$ possède un plus petit élément. On le notera $O$.
2. Montrer que $(\mathcal{N},\prec)$ est totalement ordonné.
3. Soit $a\in\mathcal{N}$, on appelle successeur de $a$ un élément $b\in\mathcal{N}$ qui vérifie $a\prec b$, $a\neq b$ et tel qu'il n'existe aucun élément $n\in\mathcal{N}$ distinct de $a$ et de $b$ qui vérifie $a\prec n\prec b$. Montrer que tout élément $a$ de $\mathcal{N}$ possède un unique successeur. On le note $s(a)$.
4. On considère l'application $s$ qui à $a$ associe $s(a)$. Montrer que $s$ est une application strictement croissante
5. Montrer que $s$ est une bijection de $\mathcal{N}$ sur $\mathcal{N}\setminus\{O\}$.
6. Soit $A$ une partie de $\mathcal{N}$ telle que :

   i)

   $O\in A$

   ii)

   $s(A)\subset A$.

   Montrer que $A=\mathcal{N}$.
7. En déduire que $(O,\mathcal{N},s)$ est un triplet naturel.

Exercice 2 : On suppose connue une définition de l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels, indépendante des autres ensembles de nombres. Le but de l'exercice est d'en déduire une définition de l'ensemble des entiers. On appelle partie inductive de $\mathbb{R}$ tout sous-ensemble $U$ de $\mathbb{R}$ contenant 0 et tel que :

$$\forall u\in \mathbb{R}\;,\quad (u\in U)\;\Longrightarrow\; ((u+1)\in U)\;.$$

1. Montrer que $\mathbb{R}^+$ est une partie inductive de $\mathbb{R}$.
2. Soit $K$ un sous-anneau de $\mathbb{R}$. Montrer que $K$ est une partie inductive de $\mathbb{R}$.
3. Soit $\{U_i ,\; i\in I\}$ une famille de parties inductives de $\mathbb{R}$. Montrer que $${\bigcap_{i\in I} U_i}$$ est une partie inductive de $\mathbb{R}$.
4. On note $\mathcal{N}$ l'intersection de toutes les parties inductives de $\mathbb{R}$, et $s$ l'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui à $x$ associe $x+1$. Montrer que $s(\mathcal{N})=\mathcal{N}\setminus\{0\}$.
5. Soit $A$ une partie de $\mathcal{N}$ telle que $0\in A$ et $s(A)\subset A$. Montrer que $A=\mathcal{N}$.
6. En déduire que $(0,\mathcal{N},s)$ est un triplet naturel.