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Test de chi-cuadrado de contingencia

Un caso particular del test de chi-cuadrado, que permite hacer un test sobre la independencia de dos carácteres estadísticos, lleva el nombre de test de chi-cuadrado de contingencia. Los dos carácteres, observados en una misma población, son $X$ e $Y$, el tamaño de la muestra es $n$. Las modalidades o clases de $X$ se denotan $c_1,\ldots,c_r$, las de $Y$ por $d_1,\ldots,d_s$. También vamos a denotar :

$\bullet$

$n_{hk}$ el efectivo conjunto de $c_h$ y $d_k$ : es el número de individuos para los cuales $X$ toma el valor $c_h$ e $Y$ el valor $d_k$,

$\bullet$

$n_{h\bullet}=\sum_{k=1}^s n_{hk}$ el efectivo marginal de $c_h$ : es el número de individuos para los cuales $X$ toma el valor $c_h$,

$\bullet$

$n_{\bullet k}=\sum_{h=1}^r n_{hk}$ el efectivo marginal de $d_k$ : es el número de individuos para los cuales $Y$ toma el valor $d_k$.

Estos valores se representan en una tabla de doble entrada conocida como tabla de contingencia.

$$\begin{array}{\vert c\vert\vert c\vert c\vert c\vert c\vert... ...n_{\bullet k}&\ldots&n_{\bullet s}&n\\ \hline \end{array}$$

Cada fila y cada columna corresponden a una submuestra particular. La fila de índice $h$ es la distribución en las clases $d_1,\ldots,d_s$ de los individuos para los cuales el carácter $X$ toma el valor $c_h$. La columna de índice $k$ es la distribución en las clases $c_1,\ldots,c_r$ de los individuos para los cuales el carácter $Y$ toma el valor $d_k$. Dividiendo las filas y las columnas por su suma, se obtienen frecuencias condicionales para cada una de las distribuciones empíricas. Para $h=1,\ldots,r$ y $k=1,\ldots,s$, las denotaremos por:

$$f_{k\vert h} = \frac{n_{hk}}{ n_{h\bullet}}$$   y$$\quad f_{h\vert k} = \frac{n_{hk}}{ n_{\bullet k}}\;.$$

Estas distribuciones empíricas condicionales se llaman los perfiles fila y los perfiles columna. Para el modelo probabilista, las observaciones provienen de una muestra
$((X_1,Y_1),\ldots,(X_n,Y_n))$ de una ley bidimensional. La hipótesis a comprobar es que los dos marginales de esta ley son independientes. Si este es el caso, los perfiles fila diferirán poco de la distribución empírica de $Y$ y los perfiles columna de la de $X$:

$$f_{k\vert h} = \frac{n_{hk}}{n_{h\bullet}}\approx f_{\bullet k} = \frac{n_{\bullet k}}{ n}$$   y$$\quad f_{h\vert k} = \frac{n_{hk}}{n_{\bullet k}}\approx f_{h\bullet} = \frac{n_{h\bullet}}{n}\;.$$

Es equivalente a decir que las frecuencias conjuntas deben estar cerca de los productos de las frecuencias marginales.

$$f_{hk} = \frac{n_{hk}}{n} \approx f_{h\bullet}\, f_{\bullet k} =\frac{n_{h\bullet}}{n}\,\frac{n_{\bullet k}}{n}\;.$$

Las frecuencias conjuntas por un lado (distribución observada), y los productos de frecuencias marginales por el otro (distribución teórica), constituyen dos distribuciones de probabilidad sobre el conjunto producto $\{c_1,\ldots,c_r\}\times\{d_1,\ldots,d_s\}$. Podemos, por tanto, calcular la distancia de chi-cuadrado de una con respecto a la otra.

Proposición 2.5   La distancia de chi-cuadrado de contingencia de la distribución empírica $(f_{hk})$ a la distribución teórica estimada $(f_{h\bullet}f_{\bullet k})$ vale:

$$D_{\chi^2} = \sum_{h=1}^r\sum_{k=1}^s \frac{(f_{hk} -f_{h\bullet}\, f_{\bullet k})^2 }{f_{h\bullet}\,f_{\bullet k}}$$

$$= -\!1+\sum_{h=1}^r\sum_{k=1}^s \frac{n_{hk}^2}{n_{h\bullet}\, n_{\bullet k}}\;.$$

 

Demostración : La primera expresión es la aplicación directa de la definición 2.3. Para obtener la segunda desarrollamos el cuadrado.

$$D_{\chi^2} = \sum_{h=1}^r\sum_{k=1}^s \frac{f_{hk}^2 }{f_{h\bullet}\,f_{\bulle... ...=1}^r\sum_{k=1}^s f_{hk} + \sum_{h=1}^r\sum_{k=1}^s f_{h\bullet}\,f_{\bullet k}$$

$$= \sum_{h=1}^r\sum_{k=1}^s \frac{f_{hk}^2 }{f_{h\bullet}\,f_{\bullet k}} \;-2\;+1$$

$$= -\!1+\sum_{h=1}^r\sum_{k=1}^s \frac{n_{hk}^2}{n_{h\bullet}\, n_{\bullet k}}\;.$$

$\square$

Por lo dicho anteriormente, para $n$ suficientemente grande, podemos aproximar la ley de $nD_{\chi^2}$ por la ley de chi-cuadrado cuyo parámetro es el número de clases menos $1$, restando además el número de parámetros estimados a partir de los datos agrupados en clases. Aquí, son las frecuencias marginales las que han sido estimadas. Hay $r\!-\!1$ para el carácter $X$ y $s\!-\!1$ para el carácter $Y$ (la última es el complemento a $1$ de la suma de las otras). El parámetro de la ley chi-cuadrado será por tanto:

$$rs-1-(r-1)-(s-1) = (r-1)(s-1)\;.$$

Vamos a presentar un ejemplo de dos carácteres binarios, que tienen que ver con enfermos, para los cuales se ha observado si tienen o no una tendencia al suicidio (carácter $X$). Las enfermedades han sido clasificadas como ''psicosis'' y ''neurosis'' (carácter $Y$). Se quiere saber si existe una dependencia entre las tendencias al suicidio y la clasificiación de los enfermos. Supongamos que la tabla de contingencia observada es:

	tendencia	sin tendencia	total
psicosis	20	180	200
neurosis	60	140	200
total	80	320	400

La distancia de chi-cuadrado de contingencia, calculada a partir de esta tabla es de $0.0625$. El valor tomado por el estadígrafo $nD_{{\cal X}^2}$ es $25$, el cual debemos comparar con la ley ${\cal X}^2(1)$. El p-valor es de:

$$1- F_{{\cal X}^2(1)}(25) = 5.733\,10^{-7}\;.$$

Rechazamos la hipótesis nula y concluimos que hay una dependencia entre la tendencia al suicidio y la clasificación de las enfermedades.

El test no precisa el sentido de esta dependencia. Para describirla hay que comparar las proporciones de los suicidas entre los neuróticos ($60/200$) y entre los sicóticos ($20/200$). El test de proporciones formaliza esta comparación.

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