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Función potencia

La noción de potencia ha sido definida hasta ahora para una alternativa simple. En el marco paramétrico, si la hipótesis ${\cal H}_1$ es compuesta, se empleará preferentemente la función potencia. Se dispone de una muestra $(X_1,\ldots,X_n)$ de la ley $P_\theta$ que depende del parámetro $\theta$. Se supone que para una cierta hipótesis ${\cal H}_0$, una regla de rechazo ha sido definida.

Definición 4.7   Se llama función potencia a la función que a un valor $\theta$ del parámetro se le asocia:

$$\pi(\theta) = \mathbb {P}_\theta[\,$$Rechazo de $${\cal H}_0\,]\;,$$

donde $\mathbb {P}_\theta$ designa a la ley de la muestra, cuando el valor del parámetro es $\theta$.

Si la hipótesis ${\cal H}_0$ es simple, del tipo $\theta=\theta_0$, entonces el valor de la función potencia para $\theta_0$ es el umbral del test : $\pi(\theta_0) = \alpha$. La figura 3 ilustra el crecimiento de la potencia en función del tamaño de la muestra.

 
Consideremos, por ejemplo una muestra de la ley exponencial de parámetro $\lambda$. La media empírica $\overline{X}$ sigue la ley gamma ${\cal G}(n,n\lambda)$. Consideremos la hipótesis simple ${\cal H}_0\,:\,\lambda=1$, y los tres tests (bilateral, unilateral a la derecha y a la izquierda) definidos por las reglas de decisión:

$${\cal H}_0 \Longleftrightarrow \overline{X}\notin [\,Q_{{\cal G}(n,n)}(\alpha/2)\,,\, Q_{{\cal G}(n,n)}(1-\alpha/2)\,]\;,$$

$${\cal H}_0 \Longleftrightarrow \overline{X} > Q_{{\cal G}(n,n)}(1-\alpha)\;,$$

$${\cal H}_0 \Longleftrightarrow \overline{X} < Q_{{\cal G}(n,n)}(\alpha)\;.$$

Si el valor del parámetro es $\lambda$, se calculan las probabilidades de rechazo de ${\cal H}_0$, con la ayuda de la función de distribución de la ley gamma ${\cal G}(n,n\lambda)$. Como ejemplo numérico, fijamos $n=10$ y $\alpha=0.05$. Veamos algunos valores particulares para las $3$ funciones potencia $\pi_1(\lambda)$, $\pi_2(\lambda)$ y $\pi_3(\lambda)$ (ver también la figura 4).

$\lambda$	0.7	0.8	0.9	1	1.1	1.2	1.3
$\pi_1(\lambda)$	0.248	0.132	0.072	0.050	0.053	0.072	0.102
$\pi_2(\lambda)$	0.341	0.197	0.103	0.050	0.023	0.010	0.004
$\pi_3(\lambda)$	0.006	0.014	0.028	0.050	0.082	0.124	0.175

Para el test bilateral, la función potencia admite un mínimo en el punto $\lambda=1$. Para los tests unilaterales, la potencia es monótona, y ella es menor que el nivel del test para algunos valores de $\lambda$.

Definición 4.8   Se dice que un test de umbral $\alpha$ para una hipótesis simple ${\cal H}_0\,:\,\theta=\theta_0$ es sesgado si la función potencia toma valores menores que $\alpha$ para algunos valores de $\theta$.

Para los tests en los que la alternativa es simple, el teorema 4.6 (Neyman-Pearson) muestra que el test del cociente de verosimilitud es el más potente para un umbral dado. Un tal test se llama uniformemente más potente (UMP). Para hipótesis compuestas, no existe en general un test UMP. Bajo hipótesis razonables, se demuestra que siempre existe un test que es UMP entre los tests sin sesgo.

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