Sección : Hipótesis alternativas
Previo : Tests paramétricos
Siguiente : Función potencia

Test del cociente de verosimilitud

Retomamos el problema de contrastar o hacer un test entre dos hipótesis simples cuando el modelo es el de una muestra $(X_1,\ldots,X_n)$ de una ley de probabilidad desconocida $P$ :

$${\cal H}_0\;:\;P=P_0$$   contra$$\quad {\cal H}_1\;:\;P=P_1\;.$$

Los tests que tienen que ver con dos valores fijos de un parámetro son un caso particular de estos. Consideremos por ejemplo la serie de 10 datos binarios siguiente:

$$0\;,\;1\;,\;1\;,\;0\;,\;1\;,\;1\;,\;1\;,\;0\;,\;0\;,\;1\;.$$

El modelo es una muestra de tamaño $10$ de la ley de Bernoulli de parámetro $p$, para la cual queremos hacer un test:

$${\cal H}_0\;:\;p=0.5$$   contra$$\quad {\cal H}_1\;:\;p=0.8\;.$$

La idea consiste en comparar las probabilidades de la observación bajo cada una de las dos hipótesis. Para la ley de Bernoulli de parámetro $p$, la probabilidad que una observación contenga $6$ ``$1$'' y $4$ ``0'' es $p^6(1-p)^4$ o sea $9.8\,10^{-4}$ para $p=0.5$ y $4.2\,10^{-4}$ para $p=0.8$. Las dos son débiles, pero el cociente está a favor de ${\cal H}_0$.

Definición 4.3   Sea $P$ une ley de probabilidad discreta, y $(X_1,\ldots,X_n)$ una muestra de la ley $P$. Se llama verosimilitud al estadígrafo:

$$L(X_1,\ldots,X_n) = \prod_{i=1}^n P(X_i)\;.$$

La interpretación es la siguiente. Por definición, las variables aleatorias $X_1,\ldots,X_n$ son independientes y de misma ley $P$. Por tanto la probabilidad que la muestra teórica $(X_1,\ldots,X_n)$ tenga por realización la muestra observada $(x_1,\ldots,x_n)$ es el producto de las probabilidades para que $X_i$ tome el valor $x_i$, es decir:

$$\mathbb {P}[(X_1,\ldots,X_n)=(x_1,\ldots,x_n)] = L(x_1,\ldots,x_n)\;.$$

En el caso de un modelo continuo, la ley $P$ tiene una densidad con valores en $\mathbb {R}$, y la probabilidad de que la muestra tome un valor particular es siempre nula. Por tanto hay que sustituir la probabilidad $P$ por su densidad en la definición de la verosimilitud.

Definición 4.4   Sea $P$ una ley de probabilidad continua con valores en $\mathbb {R}$ y
$(X_1,\ldots,X_n)$ una muestra de la ley $P$. Denotemos por $f$ la densidad de probabilidad de la ley $P$. Se llama verosimilitud al estadígrafo:

$$L(X_1,\ldots,X_n) = \prod_{i=1}^n f(X_i)\;.$$

La interpretación es la siguiente. Sea $\varepsilon$ un número real estrictamente positivo (pequeño). La probabilidad que la muestra $(X_1,\ldots,X_n)$ tenga una realización ``tan cerca como $\varepsilon$'' de la muestra observada $(x_1,\ldots,x_n)$ puede escribirse:

$$\mathbb {P}\Big[X_1\in [x_1\!-\!\frac{\varepsilon}{2},x_1\!+\!\frac{\varepsilon}{2}] \ldots X_n\in [x_n-\frac{\varepsilon}{2},x_n+\frac{\varepsilon}{2}]\Big] = \prod_{i=1}^n \int_{x_i-\frac{\varepsilon}{2}}^{x_i+\frac{\varepsilon}{2}} f(x)\,dx$$

$$\simeq \prod_{i=1}^n \varepsilon f(x_i)$$

$$= \varepsilon^n\,L(x_1,\ldots,x_n)\;.$$

Definición 4.5   Sea $(X_1,\ldots,X_n)$ una muestra de la ley $P$. Se desea hacer un test de las hipótesis

$${\cal H}_0\;:\;P=P_0$$   contra$$\quad {\cal H}_1\;:\;P=P_1\;.$$

Sea $L_0(X_1,\ldots,X_n)$ la verosimilitud de la muestra bajo ${\cal H}_0$ y $L_1(X_1,\ldots,X_n)$ la verosimilitud bajo ${\cal H}_1$. Pongamos:

$$T = \frac{L_1(X_1,\ldots,X_n)}{L_0(X_1,\ldots,X_n)}\;.$$

Se llama test del cociente de verosimilitud de umbral $\alpha$, al test definido por la regla de decisión:

   Rechazo de $${\cal H}_0\;\Longleftrightarrow\; T > Q_0(1-\alpha)\;,$$

donde $Q_0$ es la función cuantil de $T$ bajo la hipótesis ${\cal H}_0$.

En el caso en que la ley $P$ es discreta, la ley del estadígrafo de test $T$ lo es también, y la definición de la región de rechazo para un valor fijado del umbral $\alpha$ plantea los problemas habituales. En la práctica, es mejor calcular el p-valor.
 

Retomemos el ejemplo de una muestra de la ley de Bernoulli, con las dos hipótesis:

$${\cal H}_0\;:\;p=p_0$$   contra$$\quad {\cal H}_1\;:\;p=p_1\;,$$

donde $p_0<p_1$. La regla de decisión es del tipo:

   Rechazo de $${\cal H}_0\;\Longleftrightarrow\; \frac{p_1^{\sum X_i}(1-p_1)^{n-\sum X_i}} {p_0^{\sum X_i}(1-p_0)^{n-\sum X_i}} > l_0\;.$$

Como siempre, se va a transformar la regla de decisión por equivalencias, para llegar a un estadígrafo de test del cual sepamos calcular la ley :

$${\cal H}_0 \Longleftrightarrow \left(\frac{p_1(1-p_0)}{p_0(1-p_1)}\right)^{\sum X_i} >l_1$$

$$\Longleftrightarrow \sum X_i > l_2\;.$$

El valor $l_2$ deberá ser tal que $\mathbb {P}_{{\cal H}_0}[\sum X_i>l_2] = \alpha$. Pero bajo ${\cal H}_0$, $\sum X_i$ sigue la ley binomial ${\cal B}(n,p_0)$. Reencontramos el test unilateral a la derecha clásico para el valor de una probabilidad. Como una aplicación numérica, si $p_0=0.5$ y $p_1=0.8$, $\sum X_i$ toma el valor 6, el p-valor es :

$$1-F_{{\cal B}(10,0.5)}(5) = 0.377\;.$$

Por tanto no se rechazará ${\cal H}_0$.
 

Veamos otro ejemplo, con dos leyes continuas.

$${\cal H}_0\;:\;P={\cal U}(0,1)$$   contra$$\quad {\cal H}_1\;:\;P={\cal B}(2,1)\;.$$

Las leyes ${\cal U}(0,1)$ y ${\cal B}(2,1)$ tienen por densidades respectivas :

$$f_0(x) = \mathbb {I}_{[0\,,1]}(x)$$   y$$\quad f_1(x) = 2x\mathbb {I}_{[0\,,1]}(x)\;.$$

La regla de decisión del test del cociente de verosimilitud será:

$${\cal H}_0 \Longleftrightarrow \frac{L_1(X_1,\ldots,X_n)}{L_0(X_1,\ldots,X_n)} >l_0$$

$$\Longleftrightarrow 2^n\prod_{i=1}^n X_i > l_0$$

$$\Longleftrightarrow \prod_{i=1}^n X_i > l_1$$

$$\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^n \log(X_i) > l_2$$

$$\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^n -\log(X_i) < l_3\;.$$

Pero si $X_i$ sigue la ley ${\cal U}(0,1)$ (hipótesis ${\cal H}_0$), entonces $-\log(X_i)$ sigue la ley exponencial ${\cal E}(1)$, y como las $X_i$ son independientes, $\sum -\log(X_i)$ sigue la ley gamma ${\cal G}(n,1)$. La regla de decisión para el test de umbral $\alpha$ es por tanto:

   Rechazo de $${\cal H}_0\;\Longleftrightarrow\; \sum_{i=1}^n -\log(X_i) < Q_{{\cal G}(n,1)}(\alpha)\;.$$

La ventaja del test del cociente de verosimilitud (cuando se puede construir explícitamente), es que él garantiza la mejor potencia posible, según el teorema de Neyman-Pearson :

Teorema 4.6   El test del cociente de verosimilitud de umbral $\alpha$ es más potente que cualquier otro test de umbral $\alpha'\leq \alpha$, para las dos hipótesis simples ${\cal H}_0\,:\,P=P_0$ contra ${\cal H}_1\,:\,P=P_1$.

Si $\beta$ denota el riesgo de segunda especie del test del cociente de verosimilitud, y $\beta'$ el de cualquier otro test de las mismas hipótesis, decir que el test del cociente de verosimilitud es más potente que el otro quiere decir que $\beta$ es menor que $\beta'$.

Sección : Hipótesis alternativas
Previo : Tests paramétricos
Siguiente : Función potencia