Muestras gaussianas

Este parrafo está dedicado a la construcción de intervalos de confianza de la esperanza y la varianza para muestras gaussianas, o sea de la ley normal ${\cal N}(\mu,\sigma^2)$ . La ventaja de esta situación es que los estimadores naturales de la esperanza y de la varianza tienen leyes calculables explícitamente. Denotamos $(X_1,\ldots,X_n)$ una muestra de la ley ${\cal N}(\mu,\sigma^2)$ , $\overline{X}$ su media empírica y

su varianza empírica:

$\displaystyle \overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ y $\displaystyle \quad S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i -\overline{X})^2\;.$

Damos a continuación, y admitiremos, los tres resultados que permiten calcular los intervalos de confianza de $\mu$ y $\sigma^2$ .

Teorema 3.3 Si $(X_1,\ldots,X_n)$ es una muestra de la ley ${\cal N}(\mu,\sigma^2)$ , entonces:

$\displaystyle{\sqrt{\frac{n}{\sigma^2}}\Big(\overline{X}-\mu\Big)}$ sigue la ley normal ${\cal N}(0,1)$ .
$\displaystyle{\sqrt{\frac{n\!-\!1}{S^2}}\Big(\overline{X}-\mu\Big)}$ sigue la ley de Student ${\cal T}(n\!-\!1)$ .
$\displaystyle{\frac{nS^2}{\sigma^2}}$ sigue la ley de chi-cuadrado ${\cal X}^2(n\!-\!1)$ .

Las dos primeras afirmaciones sirven para estimar la esperanza $\mu$ en el caso en que la varianza $\sigma^2$ es conocida y en el caso en que es desconocida, respectivamente. Comencemos por suponer que $\sigma^2$ es conocida. Pongamos $z_\alpha = Q_{{\cal N}(0,1)}(1-\alpha/2)$ . El intervalo de dispersión optimal de nivel $1\!-\!\alpha$ para la ley ${\cal N}(0,1)$ es $[-z_\alpha , z_\alpha]$ . Hay dos valores de $z_\alpha$ que son utilizados frecuentemente: para $1\!-\!\alpha=0.95$ y

, $z_\alpha$ vale, respectivamente,

. De acuerdo con el inciso 1 del teorema 3.3, tenemos:

$\displaystyle \mathbb {P}\left[\,\sqrt{\frac{n}{\sigma^2}}\Big(\overline{X}-\mu\Big) \in[-z_\alpha,z_\alpha]\,\right] =1-\alpha\;.$

$\displaystyle \sqrt{\frac{n}{\sigma^2}}\Big(\overline{X}-\mu\Big) \in[-z_\alpha,z_\alpha]$	$\displaystyle \Longleftrightarrow$	$\displaystyle \overline{X}-\mu\in \left[\,-z_\alpha\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\,,\, z_\alpha\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\,\right]$
	$\displaystyle \Longleftrightarrow$	$\displaystyle \mu\in \left[\,\overline{X}-z_\alpha\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\,,\, \overline{X}+z_\alpha\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\,\right]\;.$

$\displaystyle \left[\,\overline{X}-z_\alpha\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\,,\, \overline{X}+z_\alpha\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\,\right]\;,$

El caso en que $\sigma^2$ es desconocida se trata de la misma forma, reemplazando la ley ${\cal N}(0,1)$ por la ley ${\cal T}(n-1)$ . Sigue siendo una ley simétrica, para la cual el intervalo de dispersión optimal de nivel $1\!-\!\alpha$ es de la forma $[-t_\alpha,t_\alpha]$ , donde:

$\displaystyle \left[\,\overline{X}-t_\alpha\sqrt{\frac{S^2}{n-1}}\,,\, \overline{X}+t_\alpha\sqrt{\frac{S^2}{n-1}}\,\right]\;.$

Pasemos ahora a la estimación de $\sigma^2$ a partir de

. La ley de chi-cuadrado ${\cal X}^2(n\!-\!1)$ no es simétrica y el intervalo de dispersión simétrico no es optimal. Denotaremos por $u_\alpha$ y $v_\alpha$ dos números reales positivos tales que $[u_\alpha,v_\alpha]$ sea un intervalo de dispersión de nivel $1\!-\!\alpha$ para la ley ${\cal X}^2(n\!-\!1)$ . Podremos calcular el intervalo de dispersión optimal por un procedimiento de optimización numérico, o si no tomar el intervalo simétrico:

$\displaystyle u_\alpha =Q_{{\cal X}^2(n-1)}(\alpha/2)$ y $\displaystyle \quad v_\alpha =Q_{{\cal X}^2(n-1)}(1-\alpha/2)\;.$

$\displaystyle \mathbb {P}\left[\,\frac{nS^2}{\sigma^2} \in [u_\alpha\,,\,v_\alpha] \,\right] = 1-\alpha\;.$

$\displaystyle \frac{nS^2}{\sigma^2} \in [u_\alpha,v_\alpha]\;\Longleftrightarro... ...igma^2\in \left[\,\frac{nS^2}{v_\alpha}\,,\,\frac{nS^2}{u_\alpha}\,\right]\;.$

El intervalo $\left[\,\frac{nS^2}{v_\alpha}\,,\,\frac{nS^2}{u_\alpha}\,\right]$ es por tanto un intervalo de confianza de nivel $1\!-\!\alpha$ para $\sigma^2$ .