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Test de correlación

El test de chi-cuadrado de contingencia se usa para comprobar la independencia de dos carácteres estadísticos. En el marco gaussiano (y solamente en este marco) dos variables aleatorias son independientes si y sólo si ellas no están correlacionadas. El problema aquí es decidir si una correlación observada entre dos carácteres estadísticos, medidos en los mismos individuos, es o no significativa.

Para el modelo probabilista, las observaciones provienen de una muestra $((X_1,Y_1),\ldots,(X_n,Y_n))$ de una ley normal bidimensional, de esperanza $(\mu_x,\mu_y)$ y con matriz de covarianza:

$$\left( \begin{array}{cc} \sigma_x^2&\sigma_x\sigma_y\rho\... ... \sigma_x\sigma_y\rho&\sigma_y^2\\ \end{array} \right)\;.$$

Es la ley de un par de variables cuyas esperanzas respectivas son $\mu_x$ y $\mu_y$ y las varianzas $\sigma_x^2$ y $\sigma_y^2$, El coeficiente de correlación es $\rho$. El estimador natural de $\rho$ es el coeficiente de correlación empírico, es decir la variable aleatoria $R$ dada por:

$$R = \frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})(Y_i-\overl... ...um_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n(Y_i-\overline{Y})^2}}}\;,$$

donde $\overline{X}$ y $\overline{Y}$ denotan las medias empíricas de las $X_i$ y de las $Y_i$ respectivamente. La hipótesis nula que queremos comprobar es:

$${\cal H}_0\;:\;\rho = 0\;.$$

Empleamos para esto el siguiente resultado:

Teorema 3.8   Si ${\cal H}_0$ es verdadera, entonces el estadígrafo:

$$T=\sqrt{n-2} \frac{R}{\sqrt{1-R^2}}\;,$$

sigue la ley de Student ${\cal T}(n\!-\!2)$.

El test bilateral de nivel $\alpha$ tendrá por regla de decisión :

   Rechazo de $${\cal H}_0\;\Longleftrightarrow\; T\notin [\,Q_{{\cal T}(n-2)}(\alpha/2)\,,\, Q_{{\cal T}(n-2)}(1-\alpha/2)\,]\;.$$

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