Résolution Directe Rapide pour les Éléments Finis de Frontière en Électromagnétisme et Acoustique : H-Matrices. Parallélisme et Applications Industrielles.

La méthode des éléments finis de frontière (BEM) requiert la résolution de systèmes linéaires pleins, mal conditionnés de grande dimension avec un nombre important de seconds membres ; la difficulté de résolution est le principal obstacle pratique à son utilisation. Une matrice hiérarchique (H-Matrice) est un format de stockage hiérarchique, creux et approché de matrices dont la manipulation permet la réalisation d’un solveur linéaire direct avec une complexité asymptotique en O(N log_2^?{alpha} (N)) en espace et en temps.

On s’intéresse aux H-Matrices pour les BEM, avec l’évaluation et la mise en œuvre des H-Matrices sur des cas académiques et industriels complexes d’une part; et la parallélisation efficace de ces algorithmes d’autre part. Une étude paramétrique rigoureuse et détaillée sur des cas modèles et industriels est présentée. On précise le domaine d’application des H-Matrices pour les BEM, donne des recommandations sur les paramètres des algorithmes, et décrit des optimisations réalisables. Nous montrons la pertinence des H-Matrices en termes de précision et temps de calcul, en comparaison avec un solveur direct classique et avec un solveur itératif basé sur la méthode multipôle rapide. 

La parallélisation des algorithmes, en mémoire partagée puis distribuée, repose sur l’expression des calculs sous forme de graphes de tâches composables, dont l’ordonnancement est effectué dynamiquement à l’aide d’un moteur d’exécution. Nous donnons une expression permettant de contrôler la granularité des opérations au travers d’une coupe paramétrable des H-Matrices, et exposons diverses optimisations et extensions de ce formalisme. Une efficacité parallèle quasi-optimale est obtenue en mémoire partagée, ainsi que des résultats prometteurs en mémoire distribuée.