Methodes effectives en (co)homologie des groupes modulaires, K-theorie et cohomologie motivique.

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Séminaire Modèles et Algorithmes Déterministes: CASYS

18/12/2014 - 09:30 Mr Philippe Elbaz-Vincent Salle 1 - Tour IRMA

Les groupes modulaires et leurs cohomologies sont des objets d'etudes essentiels en theorie des nombres. Il est souvent difficile de calculer les rangs de ces groupes de cohomologie ou de caracteriser leurs torsions. Ces proprietes sont aussi liees aux groupes de K-theories associes. Nous montrerons comment on peut calculer explicitement de tels objets dans le cas des groupes GL_N(Z) et SL_N(Z) en utilisant des modeles bases sur la geometrie des nombres et leurs extensions aux groupes de congruences. Nous montrerons en particulier que K_8(Z) est trivial, ce qui entraine de nouveaux cas de la conjecture de Kummer/Vandiver. Si le temps le permet, nous montrerons d'autres types de methodes, utilisant des problematiques algorithmiques similaires, et bases sur des complexes de configurations geometriques permettant d'estimer des groupes de cohomologie motivique des corps finis (relies eux aussi a la K-theorie). Nous illustrerons dans ces deux cas, le role joue par l'algebre lineaire  exacte sur les entiers algebriques et les corps finis, la «combinatoire algorithmique» et la geometrie algorithmique des nombres. Ainsi que les problemes lies a la certification de ces calculs sur machines.
La partie sur les groupes modulaires est base sur des travaux en collaboration avec M. Dutour, H. Gangl, J. Martinet et C. Soul'e. Les calculs d'algebre lineaire exacte pour les matrices de «grandes tailles» sont bases sur des collaborations avec B. Boyer, J.-G. Dumas, P. Giorgi et A. Urbanska.