Calcul à l'aide de primitives

Définition 5   Si $f$ est une fonction de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$, on appelle primitive de $f$ toute fonction $F$ dérivable sur $]a,b[$, telle que $F'=f$.

Proposition 6   Soit $f$ une fonction de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$, intégrable et admettant une primitive.

1. Si $F_1$ et $F_2$ sont deux primitives de $f$, alors $F_1-F_2$ est constante.
2. Si $F$ est une primitive quelconque de $f$, alors
   $$\forall x\in [a,b]\;,\quad F(x)=F(a)+\int_a^x f(t) \mathrm{d}t\;.$$

Démonstration : Le premier point est une conséquence directe du corollaire 2 : si $F_1$ et $F_2$ sont deux primitives de $f$ alors la fonction $F_1-F_2$ a une dérivée nulle, donc elle est constante. Le second point est l'application du théorème 4 à l'intervalle $[a,x]$.$\square$ Pour calculer une intégrale, on cherche la plupart du temps à déterminer une primitive de la fonction à intégrer. On utilise pour cela un catalogue de primitives connues, que l'on transforme en utilisant la linéarité, la relation de Chasles, ainsi que les deux théorèmes qui suivent.

Théorème 5 (Intégration par parties)   Soient $u$ et $v : [a,b]\to\mathbb{R}$ deux fonctions dérivables et dont les dérivées $u'$ et $v'$ sont continues. Alors $uv'$ et $u'v$ sont intégrables et :

$$\int_a^bu(x)v'(x) \mathrm{d}x=\Big[u(x)v(x)\Big]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x) \mathrm{d}x\;.$$

Démonstration : Les fonctions $u'v$, $uv'$ et $(uv)'=u'v+uv'$ sont continues. D'après le théorème 8, ces fonctions sont donc intégrables, et :

$$\Big[u(x)v(x)\Big]_a^b=\int_a^b(uv)'(x) \mathrm{d}x= \int_a^bu'(x)v(x) \mathrm{d}x+\int_a^bu(x)v'(x) \mathrm{d}x\;.$$

D'où le résultat.$\square$

Théorème 6 (Changement de variable)   Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction admettant une primitive. Soit $\varphi$ une fonction de $[\alpha,\beta]$ dans $[a,b]$, dérivable sur $]\alpha,\beta[$, telle que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$. Alors,

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t) \mathrm{d}t\;.$$

Démonstration : Par hypothèse, $f$ admet une primitive $F$. D'après la proposition 6,

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x=F(b)-F(a)=F(\varphi(\beta))\!-\!F(\varphi(\alpha)).$$

Par ailleurs, $F$ et $\varphi$ sont dérivables donc $F\circ\varphi$ l'est aussi et :

$$F(\varphi(\beta))\!-\!F(\varphi(\alpha))= \Big[F\circ\varphi(t)\B... ...hi)'(t) \mathrm{d}t=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t) \mathrm{d}t .$$

$\square$ En pratique, on effectue les substitutions :

$$x=\varphi(t)\;,\quad \mathrm{d} x=\varphi'(t) \mathrm{d}t\;,\quad a=\varphi(\alpha)\;,\quad b=\varphi(\beta)\;,$$

en prenant soin de changer les bornes comme indiqué.