Le théorème fondamental de l'Analyse

On appelle théorème fondamental de l'Analyse, le fait que l'intégration (c'est-à-dire le calcul d'aires) et la dérivation (c'est-à-dire le calcul de tangentes) sont des opérations inverses l'une de l'autre. Avant d'énoncer ce théorème, nous allons voir un moyen très simple de comprendre le rapport entre intégration et dérivation, via les sommes de Riemann. Rappelons que d'après le théorème des accroissements finis, sur tout intervalle où une fonction est dérivable, il existe un point où la valeur de la dérivée est égale au taux d'accroissement global de la fonction sur cet intervalle. La proposition suivante s'en déduit immédiatement.

Proposition 5   Soit $F$ une fonction continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. On note $f$ sa dérivée. Considérons une subdivision quelconque de l'intervalle $[a,b]$ :

$$a_0=a<a_1\cdots<a_n=b\;.$$

Pour tout $i=1,\ldots,n$, il existe $x_i\in]a_{i-1},a_i[$, tel que :

$$F(a_i)-F(a_{i-1})=f(x_i)(a_i-a_{i-1})\;.$$

Si $D$ désigne la subdivision pointée $D= \{([a_{i-1},a_i],x_i)\}$, alors

$$S_D(f) = \sum_{i=1}^n f(x_i)(a_i-a_{i-1})=F(b)-F(a)\;.$$

Démonstration : L'existence de $x_i$ est assurée par le théorème des accroissements finis, appliqué à $F$ sur l'intervalle $[a_{i-1},a_i]$. Il suffit ensuite d'écrire :

$$\sum_{i=1}^n f(x_i)(a_i-a_{i-1}) =\sum_{i=1}^n F(a_i)-F(a_{i-1})=F(b)-F(a)\;.$$

$\square$

Théorème 4   Soit $F$ une fonction continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. On note $f$ sa dérivée. Si la fonction $f$ est intégrable sur $[a,b]$, alors :

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b)-F(a)\;.$$

On note aussi :

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)\;.$$

Démonstration : D'après la proposition 5, il existe des subdivisions pointées $D=\{[a_{i-1},a_i],x_i)\}$ aussi fines que l'on veut, telles que $S_D(f)=F(b)-F(a)$. Comme on a supposé que $f$ était intégrable, la valeur de son intégrale est $F(b)-F(a)$.$\square$ On en déduit facilement le résultat suivant, qui se démontre aussi au moyen du théorème des accroissements finis.

Corollaire 2   Soit $F$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, telle que $F'=0$ $($respectivement : $F'\geqslant 0$, $F'\leqslant 0)$. Alors $F$ est constante $($respectivement : croissante, décroissante$)$.

Démonstration : En effet, pour tous points $a$ et $b$ dans $I$ tels que $a<b$,

$$F(b)-F(a)=\int_a^b F'(x) \mathrm{d}x\;.$$

Donc par le théorème de monotonie 2 :

$$\Big( \forall x ,\; F'(x)=0 \Big) \Longrightarrow F(b)-F(a)=0$$

$$\Big( \forall x ,\; F'(x)\geqslant 0 \Big) \Longrightarrow F(b)-F(a)\geqslant 0$$

$$\Big( \forall x ,\; F'(x)\leqslant 0 \Big) \Longrightarrow F(b)-F(a)\leqslant 0\;.$$

$\square$