Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a,b]$ de $\mathbb{R}$ et intégrable sur $[a,b]$. Soit $D=\{([a_{i-1},a_i],x_i)\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ une subdivision pointée de $[a,b]$.

1. Qu'appelle-t-on pas de la subdivision $D$ ?
2. Qu'appelle-t-on somme de Riemann associée à $f$ sur $D$ ?
3. Si $f$ est constante sur $[a,b]$, que vaut la somme de Riemann associée à $f$ sur $D$ ?
4. Soit $\delta$ un réel strictement positif. Quand dit-on de la subdivision pointée $D$ qu'elle est $\delta$-fine ?
5. Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif. Quand dit-on que $\delta$ est $\varepsilon$-adapté à $f$ ?

Exercice 1 : Soit $n$ un entier strictement positif. On rappelle l'expression suivante pour la somme des carrés des $n$ premiers entiers.

$$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\;.$$

Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui à $x$ associe $x^2$. On note $D$ la subdivision pointée $D=\{([a_{i-1},a_i],x_i)\}_{1\leqslant i\leqslant n}$.

1. Dans cette question, on pose $a_{i}=i/n$ pour tout $i=0,\ldots,n$ et $x_i=a_{i-1}$ pour $i=1,\ldots,n$. Montrer que :
   $$S_D(f) = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\;.$$

2. Dans cette question, on pose $a_{i}=i/n$ pour tout $i=0,\ldots,n$ et $x_i=a_{i}$ pour $i=1,\ldots,n$. Montrer que :
   $$S_D(f) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\;.$$

3. Soit $\gamma$ un réel tel que $0<\gamma<1$. Dans cette question, on pose $a_{i}=i/n$ pour tout $i=0,\ldots,n$ et $x_i=a_{i-1}+\gamma/n$ pour $i=1,\ldots,n$. Montrer que $S_D(f)$ converge vers $1/3$ quand $n$ tend vers l'infini.
4. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0\leqslant a<b$. On suppose désormais que $a_0=a$ et $a_n=b$. On pose :
   $$S_0=\sum_{i=1}^n a_{i-1}^2(a_i-a_{i-1})$$   et$$\quad S_1=\sum_{i=1}^n a_i^2(a_i-a_{i-1})\;.$$
   Montrer que $S_0\leqslant S_D(f)\leqslant S_1$.
5. On pose :
   $$S_{1/2}=\sum_{i=1}^n \left(\frac{a_{i-1}+a_i}{2}\right)^2(a_i-a_{i-1})\;,\quad$$
   Montrer que :
   $$\frac{S_0+4S_{1/2}+S_1}{6}=\frac{b^3-a^3}{3}\;.$$

6. On note $h$ le pas maximal de la subdivision :
   $$h=\max\{ a_i-a_{i-1} ,\;i=1,\ldots,n \}\;.$$
   Montrer que :
   $$S_1-S_0\leqslant h (b^2-a^2)\;.$$

7. Montrer que $S_0\leqslant (b^3-a^3)/3\leqslant S_1$. En déduire que :
   $$\left\vert S_D-\frac{b^3-a^3}{3}\right\vert\leqslant h (b^2-a^2)\;.$$

8. En déduire que $f$ est intégrable sur $[a,b]$ et que :
   $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \frac{b^3-a^3}{3}\;.$$

9. Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques. Montrer que :
   $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \frac{b^3-a^3}{3}\;.$$

Exercice 2 : On dit qu'une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est paire (respectivement : impaire) si pour tout réel $x$, $f(-x)=f(x)$ (respectivement : $f(-x)=-f(x)$).

1. Soit $f$ une fonction impaire, admettant une primitive. Montrer que toute primitive de $f$ est une fonction paire.
2. Soit $f$ une fonction, admettant une primitive paire. Montrer que pour tous réels positifs $a$ et $b$,
   $$\int_{a}^{b}f(x) \mathrm{d}x =-\int_{-a}^{-b} f(x) \mathrm{d}x\;.$$

3. Soit $f$ une fonction, admettant une primitive paire. Déduire de la question précédente que $f$ est impaire.

Exercice 3 : Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose :

$$I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(x) \mathrm{d}x\;.$$

1. Calculer $I_0$ et $I_1$.
2. En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout $n\geq 2$,
   $$I_n=(n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^2(x)\cos^{n-2}(x) \mathrm{d}x\;.$$
   En déduire que pour tout $n\geq 2$,
   $$I_n=\frac{n-1}{n} I_{n-2}\;.$$

3. En déduire que pour tout $k\in\mathbb{N}$,
   $$I_{2k}=\pi\frac{(2k)!}{2^{2k+1}(k!)^2}$$   et$$\quad I_{2k+1}=\frac{2^{2k} (k!)^2}{(2k+1)!}\;.$$