Exercices

Exercice 1   On considère les suites $ (u_n)$ définies par :

$\displaystyle u_n=1+\frac{\sqrt{n}}{n+1}\;,\quad
u_n=\frac{2n+3}{2n+1}\;,\quad
u_n = \frac{n^2+1}{n^2+n+1}\;,\quad
$

$\displaystyle u_n=1+\frac{\sin(n^2)}{n+1}\;,\quad
u_n=\frac{2n+(-1)^n}{2n+1}\;,\quad
u_n = \frac{n^2+(-1)^n\sqrt{n}}{n^2+n+1}\;.
$

Pour chacune de ces suites :
  1. Montrer qu'elle converge vers $ 1$.
  2. Pour $ \varepsilon >0$ fixé, déterminer en fonction de $ \varepsilon $ le rang $ n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite restent dans l'intervalle $ [1-\varepsilon ,1+\varepsilon ]$.

Exercice 2   On considère les suites $ (u_n)$ et $ (v_n)$ définies comme suit :
  1. $\displaystyle u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$   et$\displaystyle \quad
v_n = u_n+\frac{1}{n}\;.
$

  2. $\displaystyle u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3}$   et$\displaystyle \quad
v_n = u_n+\frac{1}{n^2}\;.
$

  3. $\displaystyle u_n = 1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^2(k+1)^2}$   et$\displaystyle \quad
v_n = u_n+\frac{1}{3n^2}\;.
$

  4. $\displaystyle s_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k}
\;,\quad
u_n = s_{2n+1}$   et$\displaystyle \quad
v_n = s_{2n}\;.
$

  5. $\displaystyle u_0=a>0\;,\quad v_0=b>a$   et$\displaystyle \quad
u_{n+1} =\sqrt{u_n v_n}\;,\quad
v_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2}\;.
$

  6. $\displaystyle u_0=a>0\;,\quad v_0=b>a$   et$\displaystyle \quad
u_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2}\;,\quad
v_{n+1} = \frac{2}{1/u_n+1/v_n}\;.
$

Montrer que les suites $ (u_n)$ et $ (v_n)$ sont adjacentes.

Exercice 3   Soit $ (u_n)$ une suite de réels.
  1. Montrer que si les suites extraites $ (u_{3n})$, $ (u_{3n+1})$ et $ (u_{3n+2})$ convergent vers la même limite, alors $ (u_n)$ converge.
  2. Montrer que si les suites extraites $ (u_{2n})$, $ (u_{2n+1})$ et $ (u_{3n})$ convergent, alors $ (u_n)$ converge.
  3. Montrer que si les suites extraites $ (u_{2n})$, $ (u_{2n+1})$ et $ (u_{n^2})$ convergent, alors $ (u_n)$ converge.
  4. Montrer par un exemple que les suites extraites $ (u_{3n})$, $ (u_{3n+1})$, $ (u_{3n+2})$ et $ (u_{n^2})$ peuvent converger sans que $ (u_n)$ converge.

Exercice 4   Démontrer les relations de comparaison suivantes.
  1. Suites tendant vers 0 :

    $\displaystyle \frac{\ln n}{n}= o(\frac{1}{\sqrt{n}})\;,\quad
\frac{n^2\ln n}{2^n}= o(\frac{1}{n^4})\;,\quad
\frac{10^n}{n!}=o((3/2)^{-n})\;.
$

  2. Suites tendant vers $ +\infty$ :

    $\displaystyle 10^n=o(\frac{\sqrt{n!}}{(4/3)^n})\;,\quad
n^4 2^{n^2}=o((6/5)^{n^3})\;,\quad
(\ln n)^4 \sqrt{n} = o(n^2\ln(\ln n))\;.
$

Exercice 5   Démontrer les relations de comparaison suivantes.
  1. Suites tendant vers 0 :

    $\displaystyle \frac{\ln(n^2+n)}{n}= O(\frac{\ln(n)}{n})\;,\quad
\frac{n^2+\ln(n^2)}{(2n+1)^3}= O(\frac{1}{n})\;,\quad
\frac{3}{2^{2n+1}+n^4}=O(4^{-n})\;.
$

  2. Suites tendant vers $ +\infty$ :

    $\displaystyle \frac{2n+\sqrt{n}}{\sqrt[3]{2n+3}}=O(n^{2/3})\;,\quad
\ln(n^2+2n+3)=O(\ln(n))\;,\quad
\frac{4n^2+3n\cos(n)}{5n-\sin(n+3)}= O(n)\;.
$

Exercice 6   Démontrer les relations de comparaison suivantes.
  1. Suites tendant vers 0 :

    $\displaystyle \frac{4n^3-\sqrt{n^5+3n^4}}{(\sqrt{2}n+\sqrt{n})^4}\sim\frac{1}{n...
...\;,\quad
\frac{\sqrt[3]{n^2+2n\cos(n)}}{\sqrt{n^3+n^2\sin(n)}}\sim n^{-5/6}\;.
$

  2. Suites tendant vers $ +\infty$ :

    $\displaystyle \frac{2n+\ln(n^3)}{\sqrt{4n+5}}\sim \sqrt{n}\;,\quad
\frac{\ln(2^...
...n}\;,\quad
\frac{\sqrt[3]{n^2+2n\cos(n)}}{\sqrt{n+\sin(n)}}\sim \sqrt[6]{n}\;.
$

Exercice 7   Démontrer les résultats suivants.
  1. $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{2n}\right)^n = \sqrt{\...
...\infty\;,\quad
\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n = 1\;.
$

  2. $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^2+2^{n}}{n^6+2^{3n}} = 0\;,\qua...
...rightarrow\infty} \frac{n^{-1/2}+
(-1/2)^{n}}{n^{-3}+(-1/2)^{3n}} = +\infty\;.
$

  3. $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1} = 0\;,\quad
\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n} = 1\;.
$

  4. $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^3+n^2}-\sqrt{n^3-n^2} = +\infty\;,
\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1} = 1\;.
$

  5. $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}
\sqrt{n+\sqrt{n^2+1}}-\sqrt{n+\sqrt{n^...
...\quad
\lim_{n\rightarrow\infty}
\frac{n-\sqrt{n^2+1}}{n-\sqrt{n^2-1}} = -1\;.
$

Exercice 8   Soit $ A$ une partie de $ \mathbb{R}$. On dit que $ A$ est dense dans $ \mathbb{R}$, si pour tous réels $ a,b$ tels que $ a<b$, $ A\cap ]a,b[\neq \emptyset$.
  1. Soient $ a$ et $ b$ deux réels tels que $ a<b$. Montrer que si $ A$ est dense dans $ \mathbb{R}$, alors l'intervalle $ ]a,b[$ contient une infinité d'éléments de $ A$.
  2. Soit $ A$ une partie dense dans $ \mathbb{R}$, et $ x$ un réel quelconque. Montrer que $ x$ est la limite d'une suite d'éléments de $ A$. Indication : considérer les intervalles $ ]x-1/n,x+1/n[$, pour $ n\in \mathbb{N}$.
  3. Réciproquement, soit $ A$ une partie de $ \mathbb{R}$ telle que tout réel soit limite d'une suite d'éléments de $ A$. Montrer que $ A$ est dense dans $ \mathbb{R}$.

Exercice 9   Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de réels. Pour tout $ n\geqslant 1$, on note

$\displaystyle c_n = \frac{1}{n}(u_1+\cdots+u_n)
$

la moyenne arithmétique des $ n$ premiers termes. La suite $ (c_n)$ est appelée «suite des moyennes de Cesaro» de $ (u_n)$.
  1. Montrer que si la suite $ (u_n)$ converge vers 0, alors la suite $ (c_n)$ converge aussi vers 0.
  2. En déduire que si la suite $ (u_n)$ converge vers $ l$, alors la suite $ (c_n)$ converge aussi vers $ l$.
  3. Pour $ u_n=(-1)^n$, montrer que $ (c_n)$ tend vers 0.
  4. Soit $ (u_n)$ une suite de réels telle que la suite $ (u_{n+1}-u_n)$ converge vers $ l$. Montrer que la suite $ (u_n/n)$ converge également vers $ l$.
  5. Soit $ (u_n)$ une suite de réels strictement positifs telle que la suite $ (u_{n+1}/u_n)$ converge vers $ l>0$. Montrer que la suite $ (\sqrt[n]{u_n})$ converge également vers $ l$.

Exercice 10   On considère la suite $ (u_n)$ définie par $ u_0\in \mathbb{R}$ et pour tout $ n\in \mathbb{N}$, $ u_{n+1}=F(u_n)$, avec :

$\displaystyle F(x) = \frac{x^3}{4}\;.
$

  1. Représenter le graphe de $ F$. Utiliser les diagrammes en toile d'araignée pour deviner le comportement de la suite $ (u_n)$ pour $ u_0=-3$, $ u_0=-1$, $ u_0=1$, $ u_0=3$.
  2. Déterminer les points fixes de $ F$.
  3. Montrer que $ F([0,2])\subset [0,2]$ et que $ F([-2,0])\subset [-2,0]$.
  4. Montrer que $ (u_n)$ est décroissante, pour tout $ u_0\in
]-\infty,-2[\cup ]0,2[$, croissante pour tout $ u_0\in ]-2,0[\cup]2,+\infty[$.
  5. Donner la limite de $ (u_n)$ selon les valeurs de $ u_0$.

Exercice 11   On considère la suite $ (u_n)$ définie par $ u_0\geqslant -2$ et pour tout $ n\in \mathbb{N}$, $ u_{n+1}=F(u_n)$, avec :

$\displaystyle F(x) = \sqrt{2+x}\;.
$

  1. Représenter le graphe de $ F$. Utiliser les diagrammes en toile d'araignée pour deviner le comportement de la suite $ (u_n)$ pour $ u_0=-1$, puis $ u_0=3$. Montrer que $ 2$ est le seul point fixe de $ F$.
  2. Pour $ u_0\in[-2,2[$, montrer que $ (u_n)$ est croissante, et tend vers $ 2$.
  3. Pour $ u_0>2$, montrer que $ (u_n)$ est décroissante, et tend vers $ 2$.
  4. Donner la limite de $ (u_n)$ selon les valeurs de $ u_0$.

Exercice 12   On considère la suite $ (u_n)$ définie par $ u_0\in \mathbb{R}$ et pour tout $ n\in \mathbb{N}$, $ u_{n+1}=F(u_n)$, avec :

$\displaystyle F(x) = \frac{x}{x^2+1}\;.
$

  1. Représenter le graphe de $ F$. Utiliser les diagrammes en toile d'araignée pour deviner le comportement de la suite $ (u_n)$ pour $ u_0=-1$, puis $ u_0=1$. Montrer que 0 est le seul point fixe de $ F$.
  2. On suppose $ u_0<0$. Montrer que $ (u_n)$ est croissante et tend vers 0.
  3. On suppose $ u_0>0$. Montrer que $ (u_n)$ est décroissante et tend vers 0.

Exercice 13   On considère la suite $ (u_n)$ définie par $ u_0\in \mathbb{R}$ et pour tout $ n\in \mathbb{N}$, $ u_{n+1}=F(u_n)$, avec :

$\displaystyle F(x) = \frac{1}{2}(x+x^2)\;.
$

  1. Représenter le graphe de $ F$. Utiliser les diagrammes en toile d'araignée pour deviner le comportement de la suite $ (u_n)$ pour $ u_0=1/2$, $ u_0=2$, $ u_0=-1/2$. Déterminer les points fixes de $ F$. Montrer que $ F([0,1])\subset [0,1]$ et que $ F([-1,0])\subset [-1,0]$.
  2. On suppose $ u_0\in [0,1[$. Montrer que $ (u_n)$ est décroissante et donner sa limite.
  3. On suppose $ u_0>1$. Montrer que $ (u_n)$ est croissante et tend vers $ +\infty$.
  4. On suppose $ u_0\in[-1,0]$. Montrer que pour tout $ n\in \mathbb{N}$, $ \vert u_n\vert\leqslant
2^{-n}$. En déduire que $ (u_n)$ tend vers 0.
  5. On suppose $ u_0<-1$. Montrer qu'on peut se ramener aux trois cas précédents. Donner la limite de $ (u_n)$ selon les valeurs de $ u_0$.

Exercice 14   Soit $ a$ un réel tel que $ 0<a<1$. On considère la suite $ (u_n)$ définie par $ u_0=a$, et pour tout $ n\geqslant 0$,

$\displaystyle u_{n+1} = \frac{n+u_n}{n+1}\;.
$

  1. Montrer que pour tout $ n\in \mathbb{N}$, $ 0<u_n<1$.
  2. Montrer que la suite $ (u_n)$ est croissante.
  3. Montrer que pour tout $ n\in \mathbb{N}$,

    $\displaystyle u_{n+1}-1 = \frac{u_n-1}{n+1}\;.
$

  4. Montrer que pour tout $ n\in \mathbb{N}$,

    $\displaystyle u_n=1+\frac{a-1}{n!}\;.
$

Exercice 15   On considère la suite $ (u_n)$ définie par $ u_0=3$ et pour tout $ n\in\mathbb{N}^*$ :

$\displaystyle u_{n} = \frac{u_{n-1}+2n^2-2}{n^2}\;.
$

  1. Montrer que pour tout $ n\in \mathbb{N}$, $ u_n\geqslant 2$.
  2. Montrer que la suite $ (u_n)$ est décroissante.
  3. Montrer que la suite $ (u_n)$ converge vers $ 2$.

Exercice 16   Soit $ a$ un réel et $ r$ un réel non nul. On considère la suite $ (u_n)$ définie par $ u_0\in \mathbb{R}$ et

$\displaystyle (E)\qquad\qquad
\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad u_{n+1} = r u_n + a\;.
$

  1. Montrer que la suite $ (u_{n+1}-u_n)$ est une suite géométrique de raison $ r$.
  2. On pose $ \lambda = a/(1-r)$. Montrer que la suite constante dont tous les termes sont égaux à $ \lambda$ est solution de l'équation de récurrence $ (E)$.
  3. Montrer que la suite $ (u_n-\lambda)$ est une suite géométrique.
  4. En déduire l'expression suivante de $ u_n$ :

    $\displaystyle u_n = \frac{a}{1-r}+\left(u_0-\frac{a}{1-r}\right) r^n\;.
$

Exercice 17   On considère l'équation de récurrence qui engendre la suite de Fibonacci :

$\displaystyle (E)\qquad\qquad
\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad
u_{n+2}=u_{n+1}+u_n\;.
$

  1. Soit $ r$ un réel. Montrer qu'une suite géométrique de raison $ r$ vérifie $ (E)$ si et seulement si $ r$ est solution de l'équation $ r^2=r+1$.
  2. Pour tout $ n\in \mathbb{N}$, définissons $ u_n=a\phi^n+b(-1/\phi)^n$, où $ a$ et $ b$ sont deux réels, et $ \phi$ est le nombre d'or :

    $\displaystyle \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\quad,\quad
-\frac{1}{\phi} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\;.
$

    Montrer que la suite $ (u_n)$ vérifie l'équation de récurrence $ (E)$.
  3. Calculer les valeurs de $ a$ et $ b$ telles que

    \begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lcl}
a+b&=&1\ [1.5ex]
a\phi-b/\phi&=&1
\end{array}\right.
\end{displaymath}

  4. En déduire l'expression suivante du $ n$-ième nombre de Fibonacci :

    $\displaystyle a_n =
\frac{1}{2^{n+1}\sqrt{5}}\left((1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}\right)\;.
$

  5. À partir de cette expression, retrouver le résultat du cours :

    $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \phi\;.
$

Exercice 18   Soient $ (a_n)$ et $ (b_n)$ deux suites de réels telles que $ a_0=1$, $ b_0=0$ et pour tout $ n\in \mathbb{N}$ :

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{lcl}
a_{n+1}&=&(a_n-b_n)/2\ [1.5ex]
b_{n+1}&=&(a_n+b_n)/2\;.
\end{array}\right.
\end{displaymath}

On pose $ z_n=a_n+\mathrm{i} b_n$.
  1. Montrer que pour tout $ n\in \mathbb{N}$,

    $\displaystyle z_{n+1} = \frac{1+\mathrm{i}}{2} z_n\;.
$

  2. En déduire que pour tout $ n\in \mathbb{N}$,

    $\displaystyle z_{n} = \frac{1}{2^{n/2}} \mathrm{e}^{n\mathrm{i}\pi/4}\;.
$

  3. En déduire l'expression de $ a_n$ et $ b_n$ en fonction de $ n$.
  4. Montrer que la suite $ (z_n)$ converge vers 0 dans $ \mathbb{C}$.


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