Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Si $ x$ est rationnel, la suite des décimales de $ x$ est périodique.
  2. $ \boxtimes\;$ Si $ x$ est décimal, la suite des décimales de $ x$ est constante à partir d'un certain rang.
  3. $ \boxtimes\;$ Toute suite récurrente qui ne prend qu'un nombre fini de valeurs distinctes, est périodique à partir d'un certain rang.
  4. $ \square\;$ Si $ F$ est une application croissante, la suite $ (F^{\circ n}(u_0))$ est croissante.
  5. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est une application croissante, la suite $ (f(n))$ est croissante.
  6. $ \boxtimes\;$ Si $ P$ est une application polynôme, la suite $ (P(n))$ est monotone à partir d'un certain rang.
  7. $ \square\;$ La suite $ (\mathrm{e}^{n\mathrm{i}\pi/4})$ est périodique de période $ 4$.
  8. $ \boxtimes\;$ La suite $ ((-1)^k)$ est une suite extraite de la suite $ (\mathrm{e}^{n\mathrm{i}\pi/4})$.
  9. $ \boxtimes\;$ On peut extraire de la suite $ (\mathrm{e}^{n\mathrm{i}\pi/4})$ une sous-suite constante.

Vrai-Faux 2   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Toute suite croissante et minorée tend vers $ +\infty$.
  2. $ \boxtimes\;$ Toute suite décroissante et non minorée tend vers $ -\infty$.
  3. $ \boxtimes\;$ Toute suite croissante et bornée converge.
  4. $ \square\;$ Une suite à termes positifs qui converge vers 0 est décroissante à partir d'un certain rang.
  5. $ \boxtimes\;$ Si la suite des décimales de $ x$ converge, alors $ x$ est un nombre rationnel.
  6. $ \square\;$ Si $ r\leqslant 1$ alors $ (\cos(n) r^n)$ tend vers 0.
  7. $ \boxtimes\;$ Si $ r< 1$ alors $ (\cos(n) r^n)$ tend vers 0.

Vrai-Faux 3   Soit $ (u_n)$ une suite de réels. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Si $ (u_n)$ tend vers 0, alors pour tout $ n$, $ u_n<1$.
  2. $ \boxtimes\;$ Si $ (u_n)$ tend vers 0, alors $ u_n<1$ pour $ n$ assez grand.
  3. $ \boxtimes\;$ Si $ (u_n)$ tend vers $ 2$, alors $ u_n>1$ pour $ n$ assez grand.
  4. $ \boxtimes\;$ Si $ (u_n)$ tend vers 0 alors $ (\cos(n) u_n)$ tend vers 0.
  5. $ \square\;$ Si $ (u_n)$ tend vers $ 1$ alors $ (\cos(n) u_n)$ tend vers $ 1$.
  6. $ \boxtimes\;$ Si $ (u_n)$ tend vers $ 1$ alors $ (\cos(n) u_n)$ est bornée.
  7. $ \square\;$ Si la suite $ (\vert u_n\vert)$ converge vers $ l$, alors la suite $ (u_n)$ converge vers $ l$ ou vers $ -l$.
  8. $ \boxtimes\;$ Si la suite $ (u_n)$ converge vers $ l$, alors la suite $ (\vert u_n\vert)$ converge vers $ \vert l\vert$.
  9. $ \boxtimes\;$ Si la suite $ (u_n)$ converge vers $ l$, alors la suite $ (u_{n^2})$ converge vers $ l$.
  10. $ \boxtimes\;$ Si la suite $ (u_n)$ converge vers $ 1$, alors la suite $ (u_{n}^2)$ converge vers $ 1$.
  11. $ \square\;$ Si la suite $ (u_n)$ converge vers $ 1$, alors la suite $ (u_{n}^n)$ converge vers $ 1$.

Vrai-Faux 4   Soient $ (u_n)$, $ (v_n)$ et $ (w_n)$ trois suites de réels. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Si pour tout $ n$, $ (u_n)\geqslant \sqrt{n}$ alors $ (u_n)$ tend vers $ +\infty$.
  2. $ \square\;$ Si pour tout $ n$, $ (u_n)\geqslant -\sqrt{n}$ alors $ (u_n)$ tend vers $ -\infty$.
  3. $ \boxtimes\;$ Si à partir d'un certain rang $ u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$ et si les suites $ (u_n)$ et $ (w_n)$ tendent vers $ 1$, alors $ (v_n)$ tend vers $ 1$.
  4. $ \square\;$ Si à partir d'un certain rang $ u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$ et si les suites $ (u_n)$ et $ (w_n)$ convergent, alors $ (v_n)$ converge.
  5. $ \boxtimes\;$ Si à partir d'un certain rang $ u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$ et si les suites $ (u_n)$ et $ (w_n)$ convergent, alors $ (v_n)$ est bornée.
  6. $ \boxtimes\;$ Si $ u_n=o(v_n)$ alors $ u_n=O(v_n)$.
  7. $ \square\;$ Si $ u_n=O(v_n)$ et $ v_n=O(u_n)$ alors $ u_n\sim v_n$.
  8. $ \boxtimes\;$ Si $ u_n\sim v_n$ alors $ (u_n/v_n)$ est bornée.
  9. $ \square\;$ Si $ u_n\sim v_n$ alors $ u_n-v_n$ tend vers 0.
  10. $ \boxtimes\;$ Si $ u_n\sim v_n$ alors $ u_n-v_n=o(v_n)$.

Vrai-Faux 5   Soit $ (u_n)$ une suite de réels croissante et non majorée. Vous pouvez en déduire que (vrai ou faux et pourquoi) :
  1. $ \boxtimes\;$ La suite $ (u_n)$ est positive à partir d'un certain rang.
  2. $ \square\;$ La suite $ (u_n^2)$ est croissante.
  3. $ \boxtimes\;$ La suite $ (\sqrt{\vert u_n\vert})$ tend vers $ +\infty$.
  4. $ \boxtimes\;$ La suite $ (\exp(-u_n))$ tend vers 0.
  5. $ \square\;$ La suite $ (1/u_n)$ est décroissante.

Vrai-Faux 6   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ n2^n=O(2^n)$.
  2. $ \boxtimes\;$ $ 2^{n+1}=O(2^n)$.
  3. $ \square\;$ $ 2^{n^2+n}=O(2^{n^2})$.
  4. $ \boxtimes\;$ $ n2^n=o(3^n)$.
  5. $ \square\;$ $ n2^n/\sqrt{n+1}=O(2^n)$.
  6. $ \boxtimes\;$ $ n2^n/\sqrt{n^2+1}\sim 2^n$.
  7. $ \square\;$ $ 3^n/n=O(2^n)$.
  8. $ \boxtimes\;$ $ 2^n/n=o(2^n)$.
  9. $ \square\;$ $ n2^{-n}=O(2^{-n})$.
  10. $ \boxtimes\;$ $ n3^{-n}=o(2^{-n})$.
  11. $ \square\;$ $ n2^{-n}/\sqrt{n+1}=O(2^{-n})$.
  12. $ \boxtimes\;$ $ n2^{-n}/\sqrt{n^2+1}\sim 2^{-n}$.
  13. $ \boxtimes\;$ $ 3^{-n}/n=O(2^{-n})$.
  14. $ \boxtimes\;$ $ 2^{-n}/n=o(2^{-n})$.


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