Suites à valeurs complexes

On étend aux suites à valeurs dans $\mathbb{C}$ toutes les propriétés des suites de réels, sauf celles qui font référence à l'ordre. On ne parle pas de suite complexe croissante, décroissante, majorée ou minorée, car contrairement à $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ n'est pas naturellement muni d'une relation d'ordre. Pour les propriétés où la distance $\vert x-y\vert$ intervient, la valeur absolue est remplacée par le module, qui se note de la même façon. Par exemple une suite $(z_n)$ est bornée si pour tout $n$, $\vert z_n\vert\leqslant M$. Elle converge vers $l\in\mathbb{C}$ si

$$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0 ,\;\forall n\geqslant n_0\;,\quad \vert z_n-l\vert\leqslant \varepsilon \;,$$

qu'il faut comprendre comme «tous les termes de la suite restent dans un disque de rayon $\varepsilon$ autour de la limite à partir d'un certain rang» (voir la figure 3 pour une illustration).

Figure 3: Convergence dans $\mathbb{C}$ de la suite $(\mathrm {e}^{\mathrm {i}\pi /4}+ \mathrm {e}^{\mathrm {i}n/4}/n)$.

Le théorème suivant montre que la convergence d'une suite de complexes équivaut à la convergence de sa partie réelle et de sa partie imaginaire.

Théorème 9   Soit $(z_n)$ une suite de complexes. La suite $(z_n)$ converge vers $l$ dans $\mathbb{C}$ si et seulement si les suites $($Re$(z_n))$ et $($Im$(z_n))$ convergent respectivement vers Re$(l)$ et Im$(l)$.

Démonstration : Elle est essentiellement basée sur l'encadrement suivant entre le module d'un nombre complexe et les valeurs absolues des parties réelle et imaginaire. Soit $z=a+\mathrm{i}b$ un complexe, alors

$$\max\{\vert a\vert,\vert b\vert\}\leqslant \vert z\vert\leqslant \vert a\vert+\vert b\vert$$ (1)

On note $a_n$ et $b_n$ la partie réelle et la partie imaginaire de $z_n$. Si $\vert z_n-l\vert$ reste inférieur à $\varepsilon$, alors il en est de même pour $\vert a_n-$Re$(l)\vert$ et $\vert b_n-$Im$(l)\vert$, par la première inégalité de (1). Réciproquement, si $\vert a_n-$Re$(l)\vert$ et $\vert b_n-$Im$(l)\vert$ sont inférieurs à $\varepsilon /2$, alors $\vert z_n-l\vert$ est inférieur à $\varepsilon$, par la seconde inégalité de (1).$\square$

Posons par exemple

$$z_n = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}+\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n/4}}{n}\;.$$

Les parties réelle et imaginaire sont :

$$a_n = \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\cos(n/4)}{n}$$   et$$\quad b_n = \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sin(n/4)}{n}$$

Les deux suites convergent vers $\sqrt{2}/{2}$, et $(z_n)$ converge vers $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}$. La figure 3 représente dans le plan complexe les $100$ premiers termes de la suite $(z_n)$, ainsi que le cercle de rayon $\varepsilon =0.05$ centré en $l=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}$.