Vitesse de convergence

Combien faut-il ajouter de termes d'une série pour avoir une bonne approximation de sa somme ? Pour contrôler l'erreur commise en remplaçant la somme globale par une somme partielle, il faut examiner le reste.

Définition 4   Soit $\sum u_n$ une série convergente de somme $s$, et $(s_n)$ la suite des sommes partielles. On appelle reste à l'ordre $n$ la quantité

$$r_n = s-s_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k\;.$$

Nous allons donner quelques exemples de séries dont on peut borner le reste. Nous commençons par les séries géométriques. Soit $r$ tel que $\vert r\vert<1$. Rappelons que la somme de la série géométrique est :

$$\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}\;.$$

Son reste à l'ordre $n$ vaut :

$$s-s_n = \frac{1}{1-r} - \frac{1-r^{n+1}}{1-r} = \frac{r^{n+1}}{1-r}\;.$$

Le reste tend donc vers 0 à vitesse géométrique, ce qui est assez rapide. Par exemple, pour $r=2$, le reste à l'ordre $20$ vaut $9,\!5 10^{-7}$, le reste à l'ordre $100$ vaut $8 10^{-31}$. Examinons maintenant la série exponentielle. Pour borner son reste, considérons les deux suites $(s_n)$ et $(s'_n)$ définies par :

$$s_n = 1+\cdots+\frac{1}{(n-1)!} + \frac{1}{n!}$$   et$$\quad s'_n = 1+\cdots+\frac{1}{(n-1)!} + \frac{2}{n!}\;.$$

La suite $(s_n)$ est croissante et converge vers $\mathrm{e}$. On vérifie facilement que la suite $(s'_n)$ est décroissante pour $n\geqslant 1$. Les deux suites sont donc adjacentes et convergent vers la même limite $\mathrm{e}$. On a donc :

$$r_n = \mathrm{e}-s_n\leqslant s'_n-s_n = \frac{1}{n!}\;.$$

La convergence est beaucoup plus rapide que pour une série géométrique. Numériquement, on trouve $r_{10}=2,\!7 10^{-8}$, $r_{20} = 2 10^{-20}$, $r_{50} = 6,\!6 10^{-67}$. Nous allons maintenant examiner des séries dont la convergence peut être beaucoup plus lente. Commençons par les séries alternées, déjà évoquées au paragraphe précédent.

Proposition 5   Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs, décroissante, tendant vers 0 à l'infini. Posons $u_n=(-1)^na_n$. Le reste à l'ordre $n$ de la série $\sum u_n$ est majoré par la valeur absolue du premier terme non sommé :

$$\vert r_n\vert \leqslant a_{n+1}\;.$$

Démonstration : Notons $s_n=u_0+\cdots+u_n$. Pour tout $k\in \mathbb{N}$, posons $\alpha_k = s_{2k}$ et $\beta_k = s_{2k+1}$. Nous vérifions que $(\alpha_k)$ et $(\beta_k)$ sont deux suites adjacentes. En effet,

$$\alpha_{k+1}-\alpha_k = -a_{2k+1}+a_{2k+2}\leqslant 0$$   et$$\quad \beta_{k+1}-\beta_k = a_{2k+2}-a_{2k+3}\geqslant 0\;.$$

Donc $(\alpha_k)$ est décroissante, et $(\beta_k)$ est croissante. De plus $\alpha_k-\beta_k=a_{2k+1}$ tend vers 0. Les deux suites ont donc la même limite $s$. Pour tout $k\in \mathbb{N}$, on aura :

$$\beta_k\leqslant \beta_{k+1}\leqslant s\leqslant \alpha_{k+1}\leqslant \alpha_k\;.$$

Selon que $n$ est pair ou impair, le reste $r_n$ peut être borné comme suit.

$$\begin{array}{lcl} \vert r_{2k}\vert&=&\vert s-\alpha_k\vert... ..._k\vert\leqslant \alpha_{k+1}-\beta_k = a_{2k+2}\;. \end{array}$$

$\square$ Pour une série alternée, la vitesse de convergence est donc dictée par la décroissance vers 0 de la suite $(a_n)$. Celle-ci peut être assez lente. Par exemple, la série $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ converge, et sa somme (pour $n\geqslant 1$) est $\ln(2)$. Numériquement, le reste à l'ordre $100$ est $5 10^{-3}$. Examinons maintenant les séries dont la convergence peut être obtenue par comparaison avec une intégrale, grâce au théorème 5.

Proposition 6   Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}^+$, décroissante, telle que l'intégrale
$\int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ converge. Soit $r_n$ le reste à l'ordre $n$ de la série de terme général $u_n=f(n)$. On a :

$$r_n\leqslant \int_n^{+\infty}f(t) \mathrm{d}t\leqslant r_{n-1}\;.$$

Démonstration : C'est une conséquence immédiate des inégalités suivantes, que nous avions déjà rencontrées dans la démonstration du théorème 5 (voir figure 2).

$$u_n \geqslant \int_n^{n+1} f(t) \mathrm{d}t\geqslant u_{n+1}\;.$$

$\square$ Dans ce cas, la vitesse de convergence de la série est essentiellement celle à laquelle l'intégrale de la fonction sur $[n,+\infty[$ tend vers 0. Pour les séries de Riemann $\sum n^{-\alpha}$ avec $\alpha>1$, l'intégrale se calcule explicitement. On trouve :

$$r_n\leqslant \frac {1}{\alpha-1}n^{-\alpha+1}\leqslant r_{n-1}\;.$$

Si $\alpha$ est assez proche de $1$, la convergence peut donc être extrêmement lente. Par exemple, la série $\sum \frac{1}{n^2}$ converge. Sa somme (pour $n\geqslant 1$) est $\frac{\pi^2}{6}$. Numériquement, le reste à l'ordre $100$ est proche de $10^{-2}$.