Intersection de droites et de plans

Une équation linéaire à deux inconnues, du type $a_1 x +a_2 y=b$, est l'équation d'une droite dans le plan. Plus précisément, si $a_1$, $a_2$ et $b$ sont des réels fixés, tels que $a_1\neq 0$ ou $a_2\neq 0$, l'ensemble des couples $(x,y)$ vérifiant $a_1 x +a_2 y=b$ est une droite affine. Chercher les couples $(x,y)$ qui vérifient plusieurs équations du même type, c'est chercher les points communs à plusieurs droites affines. Voici trois exemples de systèmes de 3 équations à 2 inconnues.

$$\left\{\begin{array}{rrcr} x&-y&=&-1\\ x&+y&=&1\\ &y&=&2 \end{a... ...\{\begin{array}{rrcr} x&-y&=&-1\\ 2x&-2y&=&-2\\ -x&+y&=&1 \end{array}\right.$$

Le premier n'a pas de solution. Le second a une solution unique : la solution de ses deux premières équations vérifie la troisième. Le troisième système a une infinité de solutions : ses trois équations sont équivalentes.

La figure 1 donne une interprétation géométrique des trois systèmes. Dans chacun des trois graphiques, $D_1$, $D_2$, $D_3$ sont les droites correspondant aux trois équations du système.

Figure 1: Interprétations géométriques de 3 systèmes linéaires de 3 équations à 2 inconnues.

Résoudre un système de $m$ équations à 2 inconnues, c'est déterminer l'intersection de $m$ droites dans le plan. Elle peut être vide, réduite à un point, ou égale à une droite. Une équation linéaire à trois inconnues $x,y,z$ est l'équation d'un plan dans l'espace. Voici trois systèmes de deux équations à trois inconnues.

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} x&+y&+z&=&1\\ -x&-y&-z&=&-1 \end{arr... ...uad \left\{\begin{array}{rrrcr} x&+y&+z&=&1\\ x&-y&+z&=&-1 \end{array}\right.$$

Les deux équations du premier système représentent le même plan. L'ensemble des solutions du système est ce plan. Dans le second système, les équations sont celles de deux plans parallèles : leur intersection est vide. Le troisième système est le cas général : l'intersection des deux plans est une droite. Les trois cas sont illustrés par la figure 2.

Figure 2: Interprétations géométriques de 3 systèmes linéaires de 2 équations à 3 inconnues.

Un système de 3 équations à 3 inconnues peut avoir une solution unique (l'intersection de trois plans «en position générale»  est un point de l'espace). Mais il peut se faire que deux des plans soient parallèles, auquel cas le système n'aura pas de solution, ou bien que l'un des plans contienne l'intersection des deux autres, auquel cas le système aura une infinité de solutions. Un système linéaire de $m$ équations à $n$ inconnues se présente sous la forme suivante.

$$(S)\qquad \left\{\begin{array}{ccccccc} a_{1,1} x_1+&\cdots&+a_{... ...m,1} x_1+&\cdots&+a_{m,j} x_j+&\cdots&+a_{m,n} x_n&=&b_m \end{array}\right.$$

Une solution de $(S)$ est un $n$-uplet de réels qui satisfont à la fois ses $m$ équations. Résoudre le système $(S)$ c'est décrire l'ensemble des solutions. L'intuition géométrique des dimensions 2 et 3 reste valable en dimension $n$ : l'ensemble des $n$-uplets de réels $(x_1,\ldots,x_n)$ qui vérifient une équation du type

$$a_{i,1} x_1+\ldots+a_{i,n} x_n=b_i\;,$$

où les $a_i$ sont non tous nuls, est un sous-espace affine de dimension $n-1$ dans $\mathbb{R}^n$, que l'on appelle un hyperplan. Résoudre un système de $m$ équations, c'est décrire l'intersection de $m$ hyperplans dans $\mathbb{R}^n$. Cette intersection peut être vide, mais si elle ne l'est pas, c'est un sous-espace affine de $\mathbb{R}^n$. Nous le démontrerons à la section suivante.