QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1    

Si un système a 4 équations et 2 inconnues, alors il est impossible.

Si un système a 1 équation et 3 inconnues, alors il a une infinité de solutions.

Si un système a 3 équations, 2 inconnues, et un second membre nul, alors il a au moins une solution.

Si un système a 2 équations, 2 inconnues, et un second membre nul, alors il a exactement une solution.

Si un système a 3 équations et 2 inconnues, et un second membre nul, alors il a une infinité de solutions.

Question 2   Soit $(S)$ un système de 2 équations à 3 inconnues.

Le système $(S)$ a forcément une infinité de solutions.

Si les deux équations ont le même premier membre, alors le système $(S)$ a une infinité de solutions.

L'ensemble des solutions du système $(S)$ est forcément une droite affine.

Le système $(S)$ est impossible si et seulement si les deux équations sont celles de deux plans parallèles non confondus.

Si le système $(S)$ a une solution, alors il en a une infinité.

Question 3   Soit $(S)$ un système linéaire et $(H)$ le système homogène associé.

Le système $(H)$ a forcément au moins une solution.

Si le système $(S)$ est impossible, alors le système $(H)$ a une infinité de solutions.

Si le système $(S)$ a une infinité de solutions, alors le système $(H)$ a une infinité de solutions.

Si $s_0$ et $s_1$ sont deux solutions de $(S)$, alors $3s_0-2s_1$ est solution de $(H)$.

Si $s_0$ et $s_1$ sont deux solutions de $(H)$, alors $3s_0-2s_1$ est solution de $(S)$.

Question 4   Soit $(S)$ un système, que l'on résout par la méthode de Gauss. On note $(S_E)$ le système sous forme échelonnée.

Si $(S)$ a 2 équations et 3 inconnues, alors dans $(S_E)$ aucune équation n'a son premier membre nul.

Si $(S)$ a 3 équations et 2 inconnues, alors dans $(S_E)$ au moins une équation a son premier membre nul.

Si $(S)$ a 4 équations et 3 inconnues, alors dans $(S_E)$ exactement une équation a son premier membre nul.

Si dans $(S_E)$ toute équation dont le premier membre est nul a aussi un second membre nul, alors le système $(S)$ a au moins une solution.

Si $(S)$ a une solution unique, alors dans $(S_E)$ aucune équation n'a son premier membre nul.

Question 5   Soit $(S)$ un système de 4 équations à 3 inconnues.

Le rang de $(S)$ est au moins égal à 3.

Si $(S)$ est de rang 3, alors $(S)$ a une solution unique.

Si $(S)$ est de rang 2, alors soit $(S)$ est impossible, soit l'ensemble des solutions de $(S)$ est une droite affine.

Si $(S)$ est de rang 1, alors l'ensemble des solutions de $(S)$ est un plan affine.

Si $(S)$ est de rang 3 et si son second membre est nul, alors $(0,0,0)$ est l'unique solution de $(S)$.

Question 6   Soient $a$ et $b$ deux paramètres réels. On considère le système :

$$(S)\qquad \left\{ \begin{array}{rrcl} 4x&-2y&=&a\\ -2x&+y&=&b\;. \end{array}\right.$$

Soit ${\cal S}$ l'ensemble des solutions de $(S)$.

Si $a=b\neq 0$ alors ${\cal S}$ est l'ensemble vide.

Il existe un couple $(a,b)$ tels que ${\cal S}$ soit un singleton.

Pour tout couple $(a,b)$ tel que $a\neq b$, le système $(S)$ est impossible.

Il existe un couple $(a,b)$ tels que ${\cal S}$ soit un espace affine de dimension 2.

Si $a=-2b$ alors ${\cal S}$ est une droite affine.

Question 7   Soient $a$ et $b$ deux paramètres réels. On considère le système :

$$(S)\qquad \left\{ \begin{array}{rrcl} x&-ay&=&a\\ ax&-ay&=&b\;. \end{array}\right.$$

Soit ${\cal S}$ l'ensemble des solutions de $(S)$.

Si $(a,b)=(1,1)$, alors ${\cal S}$ est une droite affine.

Si $a=0$, alors pour tout $b$ le système est impossible.

Si $(a,b)=(1,2)$, alors ${\cal S}$ est un singleton.

Si $(a,b)=(2,1)$, alors ${\cal S}$ est un singleton.

Si $a\neq b$, alors ${\cal S}$ n'est pas vide.

Question 8   Soient $a$ et $b$ deux paramètres réels. On considère le système :

$$(S)\qquad \left\{ \begin{array}{rrcl} x&-ay&=&1\\ -2x&+by&=&-2\;. \end{array}\right.$$

Soit ${\cal S}$ l'ensemble des solutions de $(S)$.

Si le produit $ab$ est nul, alors ${\cal S}$ est un singleton.

Pour tout couple $(a,b)$, le système $(S)$ a au moins une solution.

Pour tout couple $(a,b)$, $(1,0)$ appartient à ${\cal S}$.

Il existe un couple $(a,b)$ tel que $(0,0)$ appartienne à ${\cal S}$.

Si $a=b$, alors ${\cal S}$ est une droite affine.

Question 9   Soient $a$ et $b$ deux paramètres réels. On considère le système :

$$(S)\qquad \left\{ \begin{array}{rrrcl} x&-y&+z&=&1\\ &ay&+z&=&1\\ &&bz&=&2a\;. \end{array}\right.$$

Soit ${\cal S}$ l'ensemble des solutions de $(S)$.

Pour $(a,b)=(1,1)$ le système $(S)$ est sous forme échelonnée.

Si $(a,b)=(0,1)$, alors ${\cal S}$ est vide.

Si $(a,b)=(0,0)$, alors ${\cal S}$ est un plan affine.

Si $b\neq 0$, alors pour tout $a$, ${\cal S}$ est un singleton.

Si $a=0$, alors pour tout $b$, ${\cal S}$ est vide.

Question 10   Soient $a$ et $b$ deux paramètres réels. On considère le système :

$$(S)\qquad \left\{ \begin{array}{rrrcl} x&-y&+z&=&1\\ -ax&+ay&-z&=&-1\\ -x&+y&+bz&=&b\;. \end{array}\right.$$

Soit ${\cal S}$ l'ensemble des solutions de $(S)$.

Si $a=1$, alors pour tout $b$, ${\cal S}$ est une droite affine.

Pour tout $(a,b)$, ${\cal S}$ est non vide.

Il existe $(a,b)$ tel que ${\cal S}$ soit un singleton.

Pour $(a,b)=(1,0)$, $(0,0,0)\in {\cal S}$.

Pour $(a,b)=(1,-1)$, ${\cal S}$ est un plan affine.