Exercices

Exercice 1   Déterminer, selon les valeurs du paramètre réel $a$, l'ensemble des solutions des systèmes suivants.

$$\left\{\begin{array}{rrcr} x&-2y&=&2\\ x&-ay&=&a \end{array}\right. \qquad \left\{\begin{array}{rrcr} ax&+y&=&2\\ x&+ay&=&2 \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{rrcr} ax&+(1-a)y&=&1\\ (1-a)x&-ay&=&a \end{... ...uad \left\{\begin{array}{rrcr} ax&+(1-a)y&=&a\\ ax&+ay&=&a \end{array}\right.$$

Exercice 2   Résoudre les systèmes linéaires suivants.

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} x&-2y&+3z&=&5\\ 2x&-4y&+z&=&5\\ 3x&... ...n{array}{rrrcr} x&+2y&-z&=&5\\ 2x&+y&+z&=&10\\ x&&+2z&=&0 \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} x&-y&+3z&=&2\\ -x&+4y&+z&=&-1\\ 3x&... ...n{array}{rrrcr} 2x&+y&-z&=&3\\ x&-y&+z&=&2\\ x&+y&+2z&=&0 \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} &-y&+z&=&1\\ -5x&+2y&-z&=&-1\\ x&&-... ...rray}{rrrcr} &+y&-2z&=&3\\ -2x&-3y&+z&=&2\\ 3x&+y&-2z&=&0 \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} 10x&+9y&+z&=&-50\\ 9x&+10y&+5z&=&40\... ...cr} 10x&+9y&+z&=&-50\\ 9x&+10y&+5z&=&41\\ x&+5y&+9z&=&180 \end{array}\right.$$

Exercice 3   Résoudre les systèmes linéaires suivants.

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} x&-2y&+3z&=&0\\ 2x&-4y&+z&=&0\\ 3x&... ...in{array}{rrrcr} x&+2y&-z&=&0\\ 2x&+y&-2z&=&0\\ x&&-z&=&0 \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} x&-y&+3z&=&0\\ -x&+4y&+z&=&3\\ &-3y... ...array}{rrrcr} 2x&+y&-z&=&0\\ x&-y&+z&=&1\\ x&+2y&-3z&=&-2 \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} &-y&+z&=&1\\ 3x&+2y&-z&=&2\\ x&&-2z... ...ray}{rrrcr} &+y&-2z&=&3\\ -2x&-3y&+z&=&-2\\ 3x&+y&-3z&=&1 \end{array}\right.$$

Exercice 4   Résoudre les systèmes linéaires suivants.

$$\left\{\begin{array}{rrrrcr} x&-y&-z&-t&=&3\\ 2x&&-z&+3t&=&9\\ ... ... x&+y&-z&-t&=&-1\\ x&+y&+z&-t&=&0\\ x&-y&-z&+t&=&2 \end{array}\right. \qquad$$

$$\left\{\begin{array}{rrrrcr} 3x&+4y&+z&+2t&=&3\\ 6x&+8y&+2z&+5t&... ...cr} x&-2y&+z&+t&=&-2\\ 2x&-y&-z&-t&=&-1\\ x&+y&+z&+t&=&-8 \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} x&+2y&-3z&=&4\\ x&+3y&-z&=&11\\ 2x&... ...rrrcr} &y&+z&=&5\\ x&&+z&=&4\\ x&+y&+2z&=&9\\ -x&+y&&=&1 \end{array}\right.$$

Exercice 5   Déterminer, selon les valeurs du paramètre réel $a$, l'ensemble des solutions des systèmes linéaires suivants.

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} 2x&+3y&-2z&=&5\\ x&-2y&+3z&=&2\\ 4x... ...rray}{rrrcr} x&-y&+a z&=&a\\ x&+a y&-z&=&-1\\ x&+y&+z&=&2 \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} \!x&+y&+(2a\!-\!1)z&=&1\\ \!ax&+y&+z... ...+2az&=&a\!+\!1\\ \!4ax&+(5a\!-\!7)y&+(2a\!-\!5)z&=&a\!-\!1 \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} 2x&+a y&+4z&=&0\\ x&+y&+2a z&=&-3\ ... ...rcr} x&+2y&-z&+t&=&1\\ x&+3y&+z&-t&=&1\\ 2x&+y&-8z&+t&=&a \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} x&-2y&+a z&=&1\\ 3x&-a y&+2z&=&1\\ ... ... x&+a y&+z&+t&=&-1\\ x&+y&+a z&+t&=&1\\ x&+y&+z&+a t&=&-1 \end{array}\right.$$

Exercice 6   Déterminer, selon les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$, l'ensemble des solutions des systèmes linéaires suivants.

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} 3x&+y&-z&=&1\\ 5x&+2y&-2z&=&a\\ 4x&... ...2z&=&1\\ ax&+(2b-3) y&+3z&=&1\\ ax&+(b-1)y&+(b+2)z&=&2b-3 \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{rrrcr} 2x&+y&-z&=&2\\ x&-y&+z&=&4\\ 3x&+3y... ... x&+ay&+z&+t&=&b\\ x&+y&+az&+t&=&b^2\\ x&+y&+z&+at&=&b^3 \end{array}\right.$$

Exercice 7   Résoudre les systèmes linéaires suivants dans $\mathbb{C}$.

$$\left\{\begin{array}{rrcr} x&-\mathrm{i}y=&1\\ \mathrm{i}x&-y=&1... ...&-\mathrm{i}y=&1+\mathrm{i}\\ \mathrm{i}x&+y=&1-\mathrm{i} \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{rrcr} (1+2\mathrm{i})x&-\mathrm{i}y=&1\\ \m... ...rm{i})x&-\mathrm{i}y=&1\\ \mathrm{i}x&+(1-\mathrm{i})y=&-1 \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{rrcr} x&-\mathrm{i}y=&1\\ \mathrm{i}x&+y=&\... ...mathrm{i}\\ (1-\mathrm{i})x&+(1+\mathrm{i})y=&1-\mathrm{i} \end{array}\right.$$