Fonctions développables en série entière

Nous allons maintenant étudier les propriétés de la somme d'une série entière, vue comme une fonction de la variable $z$. Afin de ne pas compliquer les définitions, nous supposons dans toute cette section que $z$ est réel. Les identités obtenues restent vraies pour $z$ complexe, mais ce serait anticiper inutilement sur des chapitres ultérieurs que de sortir du domaine réel.

Définition 3   Soit $z_0\in\mathbb{R}$ un réel et $R\in \mathbb{R}\cup\{+\infty\}$. On dit que $g$ est développable en série entière en $z_0$ sur $]z_0-R,z_0+R [$, si pour tout $z\in]z_0-R,z_0+R [$,

$$g(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n\;.$$

Cette identité est le développement en série entière de $g$.

Un simple changement de variable permet de se ramener à des développements en série entière en 0.

Proposition 3   La fonction $g$ est développable en série entière en $z_0$ sur $]z_0-R,z_0+R [$, si et seulement si la fonction $f : z\longmapsto g(z_0+z)$ est développable en série entière en 0 sur $]\!-\!R,R [$.

La vérification est immédiate, et ce résultat nous autorise à ne plus considérer désormais que des développements en série entière en 0. Soit $\sum a_n z^n$ une série entière, et $R$ son rayon de convergence. D'après le théorème 2, la série converge pour tout réel $z$ de valeur absolue strictement inférieure à $R$, soit sur l'intervalle $]\!-\!R,R [$. Sa somme est donc développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$, par définition.

Le théorème suivant montre qu'une fonction développable en série entière, est indéfiniment dérivable. Ses dérivées successives ainsi que ses primitives sont également développables en série entière.

Théorème 4   Soit $f$ une fonction développable en série entière, telle que pour tout $z\in]\!-\!R,R [$,

$$f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n =a_0+a_1 z+\cdots+a_n z^n+\cdots$$

La fonction $f$ est indéfiniment dérivable sur $]\!-\!R,R [$. Sa dérivée est la somme de la série dérivée terme à terme, qui converge sur $]\!-\!R,R [$.

$$f'(z) = \sum_{n=1}^{\infty} na_n z^{n-1} = a_1+2a_2 z+\cdots+na_{n} z^{n-1}+\cdots$$

La primitive de $f$ qui s'annule en 0 est la somme de la série intégrée terme à terme, qui converge sur $]\!-\!R,R [$.

$$\int_0^zf(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} z^{n+1} = a_0 z+\frac{a_1}{2} z^2+\cdots+\frac{a_n}{n+1} z^{n+1}+\cdots$$

Démonstration : Nous commençons par démontrer que la série $\sum a_nz^n$ et la série dérivée $\sum na_n z^{n-1}$ ont même rayon de convergence. En effet :

$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = \lim_{n\to\infty} \exp(\ln(n)/n) = 1\;.$$

Donc :

$$\mathop{\lim\sup}_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\vert na_n\vert} = \mathop{\lim\sup}_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\vert a_n\vert}\;,$$

d'où le résultat par le théorème 2. La proposition 1 entraîne que la convergence est uniforme sur tout intervalle $[-\!r,r]$ inclus dans $]\!-\!R,R [$. Si une suite de fonctions dérivables converge uniformément sur un intervalle, ainsi que la suite des dérivées, alors la limite de la suite est dérivable à l'intérieur de l'intervalle, et sa dérivée est la limite des dérivées. Ceci entraîne que la fonction $f$ est dérivable sur tout intervalle $]\!-\!r,r [$ inclus dans $]\!-\!R,R [$, donc sur $]\!-\!R,R [$. Par récurrence, $f$ est donc indéfiniment dérivable sur $]\!-\!R,R [$. En appliquant le résultat de dérivabilité à la série primitive, on obtient la seconde partie du théorème. $\square$ Par exemple la fonction $z\mapsto \exp(az)$, est développable en série entière sur $\mathbb{R}$.

$$\exp(az) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a^n}{n!}z^n\;.$$

Sa dérivée est :

$$\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\exp(az) } = \displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{na^n}{n!}z^{n-1}}$$

$$= \displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a^n}{(n-1)!}z^{n-1}}$$

$$= \displaystyle{\sum_{m=0}^{+\infty} \frac{a^{m+1}}{m!}z^{m}}$$

$$= \displaystyle{a\sum_{m=0}^{+\infty} \frac{a^{m}}{m!}z^{m}} =a\exp(az)\;.$$

Le développement en série entière sur $]\!-\!1,1 [$ de la fonction $z\mapsto \frac{1}{1-z}$ est $\sum z^n$. Sa dérivée est :

$$\frac{1}{(1-z)^2} = \sum_{n=1}^{+\infty} nz^{n-1} =\sum_{m=0}^{+\infty} (m+1)z^{m} =1+2z+\cdots+nz^{n-1}+\cdots$$

On pourrait aussi obtenir ce résultat en effectuant le produit de la série $\sum z^n$ par elle-même. On peut aussi calculer la primitive :

$$-\ln(1-z) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n+1} z^{n+1} =z+\frac{z^2}{2}+\cdots+\frac{z^{n+1}}{n+1}+\cdots$$

En remplaçant $z$ par $-z^2$ dans la série géométrique, puis en prenant la primitive, on obtient les développements en série entière de $\frac{1}{1+z^2}$ et $\arctan(z)$.

$$\displaystyle{\frac{1}{1+z^2}} = \displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n z^{2n}= 1-z^2+\cdots+(-1)^n z^{2n}+\cdots}$$

$$\displaystyle{\arctan(z)} = \displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} z^{2n+1}= z-\frac{z^3}{3}+\cdots+\frac{(-1)^n z^{2n}}{2n+1}+\cdots}$$

En appliquant de manière itérée le théorème 4 aux dérivées successives de $f$, on peut donc calculer leurs développements en série entière. On en déduit en particulier l'expression du développement de $f$ en fonction des dérivées successives, évaluées en $z=0$ : vous connaissez déjà le polynôme de Taylor.

Corollaire 2   Si $f$ est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$, alors son développement est :

$$f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n =f(0)+f'(0) z+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n+\cdots$$

Démonstration : Si $f(z)=\sum a_n z^n$, alors f(0) est le premier terme de la série : $f(0)=a_0$. Mais le théorème 4 donne aussi :

$$f'(z)=\sum_{n=1}^{+\infty} na_nz^{n-1}\;,$$

dont le premier terme est $a_1=f'(0)$. La dérivée seconde est :

$$f''(z)=\sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1)a_nz^{n-2}\;,$$

dont le premier terme est $2a_2=f''(0)$. Par récurrence, la dérivée $k$-ième est :

$$f^{(k)}(z)=\sum_{n=k}^{+\infty} n(n-1)\cdots(n-k+1)a_nz^{n-k}\;,$$

dont le premier terme est $k!a_k=f^{(k)}(0)$. D'où le résultat.$\square$

Définition 4   Si $f$ est indéfiniment dérivable sur $]\!-\!R,R [$, on appelle série de Taylor de $f$ en 0 la série

$$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n\;.$$

Si $f$ est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$, alors $f$ est indéfiniment dérivable à tout ordre au voisinage de 0, et donc admet un développement limité en 0 à tout ordre. Le développement limité à l'ordre $n$ de $f$ est la somme partielle d'ordre $n$ de sa série de Taylor.

$$f(z)=f(0)+f'(0)z+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n+o(z^n)\;.$$

Malheureusement, la réciproque est fausse : il peut se faire que $f$ admette un développement limité à tous ordres au voisinage de 0, sans que $f$ soit somme de sa série de Taylor. L'exemple classique est :

$$f(z) = \exp\left(-\frac{1}{z^2}\right)\;.$$

Pour tout $n\geqslant 0$, on a :

$$\lim_{z\rightarrow 0} z^{-n}f(z)=0\;.$$

Donc $f(z)=o(z^n)$, pour tout $n$. On en déduit que $f$ ainsi que toutes ses dérivées sont prolongeables par continuité par 0 en 0, et que le développement limité de $f$ à tout ordre est nul. Pourtant, bien que la série de Taylor de $f$ soit nulle, $f$ n'est pas identiquement nulle.

Nous allons donner une condition suffisante pour qu'une fonction indéfiniment dérivable soit développable en série entière. Pour cela nous utilisons une formule de Taylor qui donne une expression explicite du reste, la formule de Taylor avec reste intégral.

Théorème 5   Soit $f$ une fonction de classe ${\cal C}^{n+1}$ sur $]\!-\!R,R [$ (c'est-à-dire $n+1$ fois dérivable, de dérivée $(n+1)$-ième continue). Pour tout $z\in]\!-\!R,R [$ on a :

$$f(z) = f(0)+f'(0)z+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n +r_n(z)\;,$$

avec

$$r_n(z) = \int_0^z \frac{(z-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) dt\;.$$

Démonstration : Pour $n=0$, la formule est vraie :

$$f(z)=f(0)+\int_0^z f'(t) dt\;.$$

Intégrons $r_n(z)$ par parties.

$$r_n(z) = \displaystyle{\int_0^z \frac{(z-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) dt}$$

$$= \displaystyle{\left[\frac{(z-t)^n}{n!} f^{(n)}(t)\right]_0^z +\int_0^z \frac{(z-t)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n)}(t) dt}$$

$$= \displaystyle{-\frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n+r_{n-1}(z)\;.}$$

Si on suppose la formule vraie à l'ordre $n\!-\!1$, alors :

$$r_{n-1}(z)=f(z)-f(0)-f'(0) z-\cdots-\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!} z^{n-1}\;.$$

Le résultat est donc vrai à l'ordre $n$.$\square$ Pour qu'une fonction indéfiniment dérivable soit développable en série entière, il est nécessaire et suffisant que le reste $r_n(z)$ de la formule de Taylor tende vers 0. C'est vrai en particulier si les dérivées successives sont uniformément bornées, avec des bornes croissant au plus géométriquement.

Proposition 4   Si $f$ est indéfiniment dérivable sur $]\!-\!R,R [$ et s'il existe $M$ et $a$ positifs tels que pour tout $n$ et pour tout $z\in]\!-\!R,R [$,

$$\vert f^{(n)}(z)\vert\leqslant M a^n\;,$$

alors $f$ est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$.

Démonstration : Sous cette hypothèse, on peut borner le reste $r_n(z)$ de la façon suivante.

$$\vert r_n(z)\vert\leqslant \int_0^z (z-t)^n\frac{Ma^n}{n!} =\frac{z^{n+1}Ma^n}{(n+1)!}\;.$$

Le reste $r_n(z)$ tend donc vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.$\square$ Cette proposition s'applique par exemple aux fonctions $\sin$ et $\cos$ (dont toutes les dérivées sont bornées), mais aussi à la plupart des fonctions usuelles.