QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de complexes. Soit $ r$ un réel strictement positif.
\framebox{A}
Si $ \sum a_n r^n$ converge, alors $ \sum a_nz^n$ converge, pour tout $ z$ tel que $ \vert z\vert=r$.
\framebox{B}
Si $ \sum a_n r^n$ converge, alors $ \sum a_nz^n$ converge, pour tout $ z$ tel que $ \vert z\vert<r$.
\framebox{C}
Si $ (a_n r^n)$ est bornée, alors $ \sum a_nz^n$ diverge, pour tout $ z$ tel que $ \vert z\vert\geqslant r$.
\framebox{D}
Si $ \sum a_n r^n$ converge absolument, alors $ \sum a_nz^n$ converge, pour tout $ z$ tel que $ \vert z\vert\leqslant r$.
\framebox{E}
Si $ (\vert a_n\vert r^n)$ est bornée, alors $ \sum a_nz^n$ converge, pour tout $ z$ tel que $ \vert z\vert<r$.

Question 2   Soit $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de complexes. On note $ R$ le rayon de convergence de la série $ \sum a_nz^n$. Soit $ z$ un complexe.
\framebox{A}
Si $ \sum a_nz^n$ converge, alors $ R\geqslant \vert z\vert$.
\framebox{B}
Si $ R>\vert z\vert$ alors $ \sum a_nz^n$ converge absolument.
\framebox{C}
Si $ \sum a_nz^n$ converge et $ \sum \vert a_n z^n\vert$ diverge, alors $ R<\vert z\vert$.
\framebox{D}
Si $ \sum \vert a_n z^n\vert$ converge, alors $ R>\vert z\vert$.
\framebox{E}
Si $ \vert z\vert=R$ alors $ (\vert a_n z^n\vert)$ est bornée.

Question 3   Soit $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de complexes. On note $ R$ le rayon de convergence de la série $ \sum a_nz^n$.
\framebox{A}
Le rayon de convergence de la série $ \sum n^2 a_n z^n$ est $ R/2$.
\framebox{B}
Le rayon de convergence de la série $ \sum 2^n a_n z^n$ est $ R/2$.
\framebox{C}
Le rayon de convergence de la série $ \sum a^2_n z^n$ est $ R/2$.
\framebox{D}
Le rayon de convergence de la série $ \sum a_n z^{2n}$ est $ \sqrt{R}$.
\framebox{E}
Le rayon de convergence de la série $ \sum n^2 a^2_n z^{2n}$ est $ R^2$.

Question 4   Soient $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $ (b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ deux suites de complexes. On note $ R_a$ et $ R_b$ leurs rayons de convergence respectifs.
\framebox{A}
Le rayon de convergence de $ \sum (a_n+b_n) z^n$ est $ R_a+R_b$
\framebox{B}
Le rayon de convergence de $ \sum (a_n+b_n) z^n$ est au moins égal à $ \min\{R_a,R_b\}$.
\framebox{C}
Le rayon de convergence de $ \sum (a_nb_n) z^n$ est au plus égal à $ \min\{R_a,R_b\}$.
\framebox{D}
Le rayon de convergence de $ \sum (a_nb_n) z^n$ est au moins égal à $ \max\{R_a,R_b\}$.
\framebox{E}
Le rayon de convergence de $ \sum (a_nb_n) z^n$ est au moins égal à $ R_aR_b$.

Question 5    
\framebox{A}
Le rayon de convergence de la série $ \sum \frac{2n}{3^n} z^n$ est $ \frac{3}{2}$.
\framebox{B}
Le rayon de convergence de la série $ \sum \frac{2^n}{3n} z^n$ est $ \frac{1}{2}$.
\framebox{C}
Le rayon de convergence de la série $ \sum (2^{-n}-3^n)z^n$ est $ 2$.
\framebox{D}
Le rayon de convergence de la série $ \sum (2^n)(3^{-n}) z^n$ est $ \frac{3}{2}$.
\framebox{E}
Le rayon de convergence de la série $ \sum (2n+3^n) z^n$ est $ 1$.

Question 6  
\framebox{A}
Le rayon de convergence de la série $ \sum (2n)^n z^n$ est $ \frac{1}{2}$.
\framebox{B}
Le rayon de convergence de la série $ \sum \frac{n!}{(2n)!} z^n$ est $ 2$.
\framebox{C}
Le rayon de convergence de la série $ \sum \frac{(n!)^2}{(2n)!} z^n$ est $ 4$.
\framebox{D}
Le rayon de convergence de la série $ \sum \frac{(2n)^2}{n!} z^n$ est $ \frac{1}{4}$.
\framebox{E}
Le rayon de convergence de la série $ \sum \frac{2^n}{(2n)!} z^n$ est infini.

Question 7   Soit $ f$ une application.
\framebox{A}
Si $ f$ est développable en série entière sur $ ]\!-\!R,R [$, alors $ z\mapsto f(3z)$ est développable en série entière sur $ ]\!-\!R,R [$.
\framebox{B}
Si $ f$ est développable en série entière sur $ ]\!-\!R,R [$, alors $ z\mapsto f(z-1)$ est développable en série entière sur $ ]\!-\!R-1,R-1 [$.
\framebox{C}
Si $ f$ est indéfiniment dérivable au voisinage de 0 alors il existe $ R$ tel que $ f$ est développable en série entière sur $ ]\!-\!R,R [$.
\framebox{D}
Si $ f$ est développable en série entière sur $ ]\!-\!R,R [$, alors $ f$ est indéfiniment dérivable sur $ ]\!-\!R,R [$.
\framebox{E}
Si $ f$ est développable en série entière sur $ ]\!-\!R,R [$, alors $ f^2$ est développable en série entière sur $ ]\!-\!R,R [$.

Question 8    
\framebox{A}
$ \displaystyle{\forall z\in ]-1,2[\;,\quad \frac{1}{z+1}+\frac{1}{z-2}
= \sum_{n=0}^{+\infty} ((-1)^n +2^{n+1}) z^n}$
\framebox{B}
$ \displaystyle{\forall z\in ]-2,2[\;,\quad \frac{1}{z-2}
= \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{1}{2^{n}} z^n}$
\framebox{C}
$ \displaystyle{\forall z\in ]-2,2[\;,\quad \frac{1}{z+2}
= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(-2)^{n+1}} z^n}$
\framebox{D}
$ \displaystyle{\forall z\in ]-\frac{1}{2},\frac{1}{2}[\;,\quad \frac{1}{2z-1}
= \sum_{n=0}^{+\infty} -2^{n+1} z^n}$
\framebox{E}
$ \displaystyle{\forall z\in ]-\frac{1}{2},\frac{1}{2}[\;,\quad \frac{1}{2z+1}
= \sum_{n=0}^{+\infty} -(-2)^{n+1} z^n}$

Question 9    
\framebox{A}
$ \displaystyle{\forall z\in \mathbb{R}\;,\quad \sinh(z)
= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
\framebox{B}
$ \displaystyle{\forall z\in \mathbb{R}\;,\quad \ln(z-1)
= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{z^{n}}{n}}$
\framebox{C}
$ \displaystyle{\forall z\in ]-1,1[\;,\quad \arctan(z)
= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^nz^{2n+1}}{2n+1}}$
\framebox{D}
$ \displaystyle{\forall z\in \mathbb{R}\;,\quad \cos(z)
= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{2n}}{(2n)!}}$
\framebox{E}
$ \displaystyle{\forall z\in \mathbb{R}\;,\quad \tanh(z)
= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{2n+1}}{2n+1}}$

Question 10    
\framebox{A}
$ \displaystyle{
\sum_{n=2}^{+\infty}
\frac{n-1}{n!} z^n = z\mathrm{e}^z
}$
\framebox{B}
$ \displaystyle{
\sum_{n=2}^{+\infty}
\frac{1}{(n-1)!} z^n = \mathrm{e}^z-z
}$
\framebox{C}
$ \displaystyle{
\sum_{n=1}^{+\infty}
\frac{n-2}{n!} z^n = z\mathrm{e}^z+z
}$
\framebox{D}
$ \displaystyle{
\sum_{n=2}^{+\infty}
\frac{1}{(n-1)!} z^n = z\mathrm{e}^z-z
}$
\framebox{E}
$ \displaystyle{
\sum_{n=0}^{+\infty}
\frac{n+1}{n!} z^n = (z+1)\mathrm{e}^z
}$

\framebox{\rotatebox{180}{Réponses : 1-BE 2-AB 3-BD 4-BE 5-BD 6-CE 7-DE 8-DE 9-AC 10-DE}}


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