QCM

QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1 La relation ${\cal R}$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb{N}$ .

$\framebox{A}$: $\forall n,m\in \mathbb{N}\;,\quad n{\cal R}m \Longleftrightarrow n\vert m$ .
$\framebox{B}$: $\forall n,m\in \mathbb{N}\;,\quad n{\cal R}m \Longleftrightarrow n^2=m^2$ .
$\framebox{C}$: $\forall n,m\in \mathbb{N}\;,\quad n{\cal R}m \Longleftrightarrow n^2+m^2=2nm+2n$ .
$\framebox{D}$: $\forall n,m\in \mathbb{N}\;,\quad n{\cal R}m \Longleftrightarrow n^2-m^2=2nm+2n$ .
$\framebox{E}$: $\forall n,m\in \mathbb{N}\;,\quad n{\cal R}m \Longleftrightarrow n^2+m^2=2nm$ .

Question 2 La relation ${\cal R}$ est une relation d'ordre sur $\mathbb{N}$ .

$\framebox{A}$: $\forall n,m\in \mathbb{N}\;,\quad n{\cal R}m \Longleftrightarrow n-m\geqslant 1$ .
$\framebox{B}$: $\forall n,m\in \mathbb{N}\;,\quad n{\cal R}m \Longleftrightarrow n-m\leqslant 1$ .
$\framebox{C}$: $\forall n,m\in \mathbb{N}\;,\quad n{\cal R}m \Longleftrightarrow \exists k\in \mathbb{N} ,\; m^2=k-n^2$ .
$\framebox{D}$: $\forall n,m\in \mathbb{N}\;,\quad n{\cal R}m \Longleftrightarrow \exists k\in\mathbb{N} ,\; m^2=k+n^2$ .
$\framebox{E}$: $\forall n,m\in \mathbb{N}\;,\quad n{\cal R}m \Longleftrightarrow \exists k\in \mathbb{N} ,\; m=kn$ .

Question 3

$\framebox{A}$: La division est une loi de composition interne dans $\mathbb{R}^*$ .
$\framebox{B}$: La division ne possède pas d'élément neutre dans $\mathbb{R}^*$ .
$\framebox{C}$: La division est associative dans $\mathbb{R}^*$
$\framebox{D}$: La division est commutative dans $\mathbb{R}^*$
$\framebox{E}$: Tout élément de $\mathbb{R}^*$ est son propre inverse pour la division.

Question 4 On note $\oplus$ l'addition des entiers modulo 6.

$\framebox{A}$: $(\{2,4\},\oplus)$ est un groupe.
$\framebox{B}$: $(\{0,1,2\},\oplus)$ est un groupe.
$\framebox{C}$: $(\{0,2,4\},\oplus)$ est un groupe.
$\framebox{D}$: $(\{0,3\},\oplus)$ est un groupe.
$\framebox{E}$: $(\{0,2,3\},\oplus)$ est un groupe.

Question 5 On considère des ensembles de réels, munis de l'addition.

$\framebox{A}$: $(\{ a+b\sqrt{5} ,\;a,b\in\mathbb{N}\},+)$ est un groupe.
$\framebox{B}$: $(\{ a+b\sqrt{5} ,\;a,b\in\mathbb{Z}\},+)$ est un groupe.
$\framebox{C}$: $(\{ 5a+b\sqrt{5} ,\;a,b\in\mathbb{Z}\},+)$ est un groupe.
$\framebox{D}$: $(\{ 5(a+b\sqrt{5}) ,\;a,b\in\mathbb{N}\},+)$ est un groupe.
$\framebox{E}$: $(\{ a+b\sqrt{5} ,\;a\in\mathbb{Z} ,\;b\in\mathbb{N}\},+)$ est un groupe.

Question 6 On considère des ensembles de complexes, munis de la multiplication.

$\framebox{A}$: $(\mathbb{C},\times)$ est un groupe.
$\framebox{B}$: $(\{1,-1\},\times)$ est un groupe.
$\framebox{C}$: $(\{\mathrm{i},-\mathrm{i}\},\times)$ est un groupe.
$\framebox{D}$: $(\{0,1,-1\},\times)$ est un groupe.
$\framebox{E}$: $(\{1,\mathrm{i},-1,-\mathrm{i}\},\times)$ est un groupe.

Question 7 On considère le groupe $(\mathbb{C}^*,\times)$ formé de l'ensemble des nombres complexes non nuls, muni de la multiplication.

$\framebox{A}$: L'application qui à $z\in \mathbb{C}^*$ associe est un automorphisme de $(\mathbb{C}^*,\times)$ .
$\framebox{B}$: L'application qui à $z\in \mathbb{C}^*$ associe est un morphisme de $(\mathbb{C}^*,\times)$ .
$\framebox{C}$: L'application qui à $z\in \mathbb{C}^*$ associe est un morphisme de $(\mathbb{C}^*,\times)$ .
$\framebox{D}$: L'application qui à $z\in \mathbb{C}^*$ associe $z/\overline{z}$ est un automorphisme de $(\mathbb{C}^*,\times)$ .
$\framebox{E}$: L'application qui à $z\in \mathbb{C}^*$ associe est un automorphisme de $(\mathbb{C}^*,\times)$ .

Question 8

$\framebox{A}$: L'application qui à $x\in\mathbb{R}$ associe $\mathrm{e}^{(1+\mathrm{i}) x}$ est un morphisme de $(\mathbb{R},+)$ dans $(\mathbb{C}^*,\times)$ .
$\framebox{B}$: L'application qui à $x\in\mathbb{R}$ associe $(1+\mathrm{i})x$ est un morphisme de $(\mathbb{R},+)$ dans $(\mathbb{C},+)$ .
$\framebox{C}$: L'application qui à $x\in\mathbb{R}$ associe $(1+\mathrm{i})x$ est un morphisme de $(\mathbb{R},+)$ dans $(\mathbb{C}^*,\times)$ .
$\framebox{D}$: L'application qui à $x\in\mathbb{R}$ associe $x\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}$ est un morphisme de $(\mathbb{R},+)$ dans $(\mathbb{C},+)$ .
$\framebox{E}$: L'application qui à $x\in\mathbb{R}$ associe $(x+\mathrm{i})\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}$ est un morphisme de $(\mathbb{R},+)$ dans $(\mathbb{C}^*,\times)$ .

Question 9

$\framebox{A}$: $(\{ a\sqrt{2}+b\sqrt{3} ,\;a,b\in\mathbb{Z}\},+,\times)$ est un anneau.
$\framebox{B}$: $(\{ 2a\sqrt{3} ,\;a\in\mathbb{Z}\},+,\times)$ est un anneau.
$\framebox{C}$: $(\{ a+b\sqrt{3} ,\;a,b\in\mathbb{Z}\},+,\times)$ est un anneau.
$\framebox{D}$: $(\{ 2a+b\sqrt{3} ,\;a,b\in\mathbb{Z}\},+,\times)$ est un anneau.
$\framebox{E}$: $(\{ a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6} ,\;a,b,c,d\in\mathbb{Z}\},+,\times)$ est un anneau.

Question 10 On considère $(Z_6, \oplus,\otimes)$ , c'est-à-dire l'ensemble $\{0,1,2,3,4,5\}$ muni de l'addition modulo et de la multiplication modulo .

$\framebox{A}$: Tout élément non nul de possède un inverse pour $\otimes$ .
$\framebox{B}$: $(Z_6, \oplus,\otimes)$ est un corps.
$\framebox{C}$: L'élément est son propre inverse pour la multiplication.
$\framebox{D}$: L'élément est son propre inverse pour la multiplication.
$\framebox{E}$: $(Z_6, \oplus,\otimes)$ est un anneau commutatif.

$\framebox{\rotatebox{180}{Réponses~: 1--BE~2--DE~3--AB~4--CD~5--BC~6--BE~7--CE~8--AB~9--CE~10--DE}}$

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