Suites de Sturm

Soit $ P$ un polynôme à coefficients réels n'ayant que des racines simples. La suite de Sturm de ce polynôme est une suite de polynômes qui permet de déterminer le nombre de racines de $ P$ dans un intervalle donné. Elle est définie de la façon suivante : on pose $ P_0=P$ et $ P_1=P'$, où $ P'$ désigne le polynôme dérivé de $ P$. Ensuite, pour calculer $ P_2$, on effectue la division euclidienne de $ P_0$ par $ P_1$. Le résultat peut s'écrire comme

$\displaystyle P_0=P_1Q_1-P_2,
$

où le degré de $ P_2$ est strictement inférieur à celui de $ P_1$. En d'autres termes, $ P_2$ est l'opposé du reste dans la division euclidienne de $ P_0$ par $ P_1$. Puis on recommence pour calculer $ P_3$, donc

$\displaystyle P_1=P_2Q_2-P_3,
$

et le degré de $ P_3$ est strictement inférieur à celui de $ P_2$, etc. On s'arrête lorsqu'on obtient un polynôme constant $ P_n$, ce qui arrive forcément puisque le degré des polynômes obtenus diminue à chaque division. La suite de Sturm du polynôme $ P$ est alors

$\displaystyle S=(P_0,P_1,\ldots,P_n).
$

Ensuite, pour chaque nombre réel $ x$, on note $ V(x)$ le nombre de changements de signes dans la suite $ S(x)=(P_0(x),P_1(x),\ldots,P_n(x))$.

Le théorème de Sturm, démontré par Charles Sturm (1803-1855) en 1829, affirme que le nombre de racines de $ P$ dans l'intervalle $ [a,b]$ est égal à la différence $ V(a)-V(b)$.

Un exemple, un exemple ! Soit $ P=X^3 +6X^2 -16$. Sa suite de Sturm est

$\displaystyle S=(X^3 +6X^2 -16,3X^2 +12X,8X+16,12).
$

En particulier, $ S(-7)=(-65,63,-40,12)$ et il y a 3 changements de signe dans cette suite, donc $ V(-7)=3$. De même, $ S(2)=(16,36,32,12)$ et cette fois, il n'y a pas de changement de signe, donc $ V(2)=0$. Par conséquent, $ V(-7)-V(2)=3$ donc les 3 racines de $ P$ sont dans l'intervalle $ [-7,2]$. Étonnant, non ?


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