Règle des signes de Descartes

Il s'agit d'une méthode pour estimer le nombre de racines réelles positives d'un polynôme : on compte le nombre $c$ de changements de signe dans la suite des coefficients, en ne tenant pas compte des coefficients nuls (voir les exemples plus bas). René Descartes (1596-1650) énonce dans La Géométrie, traité publié en 1637, que le nombre de racines positives vaut au plus $c$. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) montrera plus tard, en 1828, que si l'on compte les racines avec leur multiplicité, alors le nombre de racines positives a la même parité que $c$, donc que ce nombre vaut $c$ ou $c-2$ ou $c-4$, etc.

Donnons un premier exemple : pour $P=X^7 +2X^6 -3X^5 -X^2 +7X-8$, on obtient $c=3$ (remarquer les coefficients nuls), donc $P$ possède $1$ ou $3$ racines positives.

Donnons un autre exemple, qui montre qu'on peut même souvent déterminer le nombre exact de racines positives et de racines négatives en utilisant la règle des signes et quelques remarques de bon sens. Soit $Q$ le polynôme $Q=X^3+3X^2-X-2$. Puisque $c=1$, on sait que $Q$ possède exactement $1$ racine positive. Les racines négatives de $Q$ sont les racines positives du polynôme $R$ obtenu en remplaçant $X$ par $-X$ dans $Q$, soit $R=-X^3+3X^2+X-2$. Pour $R$, on trouve $c=2$ donc $Q$ possède $2$ racines négatives ou bien aucune. On remarque ensuite que $Q(-1)=1$ (le calcul de tête est facile en utilisant l'algorithme de Horner), donc $Q(-1)$ est positif, et que le monôme de plus haut degré de $Q$ est $X^{3}$ donc $Q(x)<0$ pour tout $x$ négatif tel que $\vert x\vert$ est suffisamment grand. Ainsi $Q$ possède au moins une racine inférieure à $-1$, ce qui montre que $Q$ possède $2$ racines négatives. Enfin $Q(0)=-2$ et $Q(-1)=1$ sont de signes contraires donc $Q$ possède une racine entre $-1$ et 0. On a localisé les $1+2=3$ racines de $Q$, en montrant que chacun des intervalles $]-\infty,-1[$, $]-1,0[$ et $]0,+\infty[$ en contient exactement une.

On peut encore préciser les choses en remarquant que $Q(1)=-2$, donc $Q(1)$ est négatif, et, grâce à deux derniers petits coups de Horner, que $Q(-2)=-2$ et $Q(2)=42$. Donc les racines de $Q$ sont en fait dans les intervalles $]-2,-1[$, $]-1,0[$ et $]1,2[$ et chacun de ces intervalles en contient exactement une.