Espaces affines

Passons maintenant à la définition d'un espace affine.

Définition 7   Soit $ E$ un espace vectoriel sur $ \mathbb{R}$. On appelle espace affine de direction $ E$ un ensemble $ {\cal E}$ non vide, muni d'une application

\begin{displaymath}
\begin{array}{lcl}
{\cal E}\times {\cal E}&\longrightarrow &E\\
(A,B)&\longmapsto&\overrightarrow{AB}
\end{array}\end{displaymath}

telle que :
  1. pour tout $ A\in {\cal E}$, l'application qui à $ B$ associe $ \overrightarrow{AB}$ est bijective: pour tout $ \vec{u}\in E$, il existe un unique $ B\in
{\cal E}$, tel que $ \overrightarrow{AB}=\vec{u}$. On le note $ B=A+\vec{u}$ ;
  2. la relation de Chasles est vérifiée.

    $\displaystyle \forall A,B,C\in {\cal E}\;,\quad
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\;.
$

Soient $ A,C$ deux points de $ {\cal E}$, $ \vec{u}$ un vecteur de $ E$. Notons $ B=A+\vec{u}$ et $ D=C+\vec{u}$. Les couples de points $ (A,B)$ et $ (C,D)$ sont dits équipollents: les 4 points $ A,B,D,C$ forment un parallélogramme (ses diagonales se coupent en leur milieu: figure 3).
Figure 3: Couples de points équipollents.
\includegraphics[width=7cm]{equipollence}
La relation d'équipollence est une relation d'équivalence sur l'ensemble $ {\cal E}\times {\cal E}$ des couples de points de l'espace affine. À tout vecteur $ \vec{u}$ de $ E$ correspond une classe d'équivalence de couples et une seule:

$\displaystyle \vec{u} \longleftrightarrow
\{ (A,B)\in {\cal E}\times {\cal E} ,\; B=A+\vec{u} \}\;.
$

Ceci définit une bijection entre l'ensemble quotient de $ {\cal E}\times {\cal E}$ par la relation d'équipollence, et l'espace vectoriel associé $ E$.

À tout vecteur correspond une classe d'équivalence de couples de points équipollents. Etant donné un couple de points $ (A,B)$, le vecteur $ \overrightarrow{AB}$ peut donc être interprété comme la classe d'équivalence de $ (A,B)$ pour la relation d'équipollence.


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