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QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $ \vec u$ un vecteur non nul dans un espace vectoriel, et $ A$ un point dans un espace affine associé. On pose $ B=A+2\vec{u}$ et $ C=A-\vec{u}$.
\framebox{A}
La droite passant par $ A$ de vecteur directeur $ \vec{u}$ contient les points $ B$ et $ C$.
\framebox{B}
Il existe une unique droite passant par $ A$ et de vecteur directeur $ \vec{u}$.
\framebox{C}
$ A$ est le milieu du segment $ [B,C]$.
\framebox{D}
Il existe un unique plan passant par les trois points $ A$, $ B$ et $ C$.
\framebox{E}
Le vecteur $ \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$ est un vecteur directeur de la droite $ (AB)$.

Question 2   Soit $ \vec u$ un vecteur non nul dans un espace vectoriel, et $ A$ un point dans un espace affine associé. On pose $ B=A+2\vec{u}$ et $ C=A-\vec{u}$.
\framebox{A}
$ A=C-\vec{u}$.
\framebox{B}
$ B=C+3\vec{u}$.
\framebox{C}
$ C=A+\overrightarrow{BA}$.
\framebox{D}
$ \overrightarrow{CA}=\vec{u}$.
\framebox{E}
$ \overrightarrow{BA}=2\vec{u}$.

Question 3   Soit $ E$ un espace vectoriel de dimension 3, et $ {\cal B}=(\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$ une base de $ E$.
\framebox{A}
$ \mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{\jmath},\vec{\imath},\vec{k})=1$.
\framebox{B}
$ \mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{\jmath},\vec{k},\vec{\imath})=1$.
\framebox{C}
$ \mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{\imath}, \vec{\imath}+2\vec{\jmath},\vec{k})=1$.
\framebox{D}
$ \mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{\imath}+\vec{k}, \vec{\imath}+2\vec{\jmath}, \vec{k}-2\vec{\jmath})=0$.
\framebox{E}
$ \mathrm{Det}(\vec{\imath}+\vec{\jmath},\vec{\imath}+\vec{k}, \vec{\jmath}+\vec{k})=0$.

Question 4   Soit $ \vec u$ un vecteur non nul dans un espace vectoriel, et $ A$ un point dans un espace affine associé. On pose $ B=A+2\vec{u}$ et $ C=A-\vec{u}$.
\framebox{A}
$ A$ est le barycentre de $ B$ et $ C$ affectés des coefficients respectifs $ 1$ et $ 2$.
\framebox{B}
$ B$ est le barycentre de $ A$ et $ C$ affectés des coefficients respectifs $ -2$ et $ 1$.
\framebox{C}
$ C$ est le barycentre de $ A$ et $ B$ affectés des coefficients respectifs $ 2$ et $ -1$.
\framebox{D}
$ A$ est l'isobarycentre de $ B$ et $ C$.
\framebox{E}
$ B$ est le barycentre de $ A$ et $ C$ affectés des coefficients respectifs $ 3$ et $ -2$.

Question 5   Dans un espace affine de dimension 3, muni d'un repère $ (O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, on considère le plan affine $ {\cal P}$ d'équation $ 2x-y+z=3$.
\framebox{A}
La droite passant par le point de coordonnées $ (1,2,0)$, de vecteur directeur $ \vec{\imath}+2\vec{\jmath}$ ne coupe pas le plan $ {\cal P}$.
\framebox{B}
La droite passant par le point de coordonnées $ (1,2,3)$, de vecteur directeur $ \vec{\imath}+2\vec{\jmath}$ coupe le plan $ {\cal P}$ en un point et un seul.
\framebox{C}
La droite passant par le point de coordonnées $ (1,2,3)$, de vecteur directeur $ \vec{\imath}+2\vec{\jmath}+3\vec{k}$ ne coupe pas le plan $ {\cal P}$.
\framebox{D}
La droite passant par le point de coordonnées $ (1,2,0)$, de vecteur directeur $ \vec{\imath}+2\vec{\jmath}+3\vec{k}$ coupe le plan $ {\cal P}$ en un point et un seul.
\framebox{E}
La droite passant par le point de coordonnées $ (1,0,1)$, de vecteur directeur $ \vec{\imath}+2\vec{\jmath}$ ne coupe pas le plan $ {\cal P}$.

Question 6   Dans un espace affine de dimension 3, muni d'un repère $ (O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, on considère le point $ A$ de coordonnées $ (1,0,1)$ le vecteur $ \vec{u}=\vec{\imath}+\vec{k}$ et la droite affine $ {\cal D}$ passant par $ A$ et de vecteur directeur $ \vec{u}$.
\framebox{A}
La droite $ {\cal D}$ est contenue dans le plan d'équation $ x+z=0$.
\framebox{B}
La droite $ {\cal D}$ admet pour équations paramétriques $ \displaystyle{ \left\{\begin{array}{lcl} x&=&1+\lambda\\ y&=&0\\ z&=&1+\lambda \end{array}\right. \;,\quad \lambda\in\mathbb{R}\;. }$
\framebox{C}
La droite $ {\cal D}$ contient le point $ O$.
\framebox{D}
La droite $ {\cal D}$ ne coupe pas le plan d'équation $ x-z=0$.
\framebox{E}
La droite $ {\cal D}$ admet pour équations implicites $ \displaystyle{ \left\{\begin{array}{lcl} x-z&=&0\\ x+y+z&=&2\;. \end{array}\right. }$

Question 7   Dans un espace affine de dimension 3, muni d'un repère $ (O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, on considère le point $ A$ de coordonnées $ (1,0,1)$ le vecteur $ \vec{u}=\vec{\imath}+\vec{k}$, et le plan affine $ {\cal P}$ passant par $ A$ et de vecteurs directeur $ \vec{u}$ et $ \vec{\jmath}$.
\framebox{A}
Le plan $ {\cal P}$ contient la droite passant par l'origine et par le point de coordonnées $ (1,1,1)$.
\framebox{B}
Le plan $ {\cal P}$ admet pour équations paramétriques $ \displaystyle{ \left\{\begin{array}{lcl} x&=&1+\lambda\\ y&=&\lambda\\ z&=&1+\lambda \end{array}\right. \;,\quad \lambda\in\mathbb{R}\;. }$
\framebox{C}
Le plan $ {\cal P}$ contient la droite passant par $ A$, de vecteur directeur $ \vec{\imath}+\vec{\jmath}$.
\framebox{D}
Le plan $ {\cal P}$ ne rencontre pas la droite passant par le point de coordonnées $ (0,0,1)$, et de vecteur directeur $ \vec{\jmath}$.
\framebox{E}
Le plan $ {\cal P}$ est parallèle au plan passant par $ O$, de vecteurs directeurs $ \vec{\jmath}$ et $ \vec{k}$.

Question 8   Dans un espace affine de dimension 3, muni d'un repère $ (O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, on considère le plan affine $ {\cal P}$ d'équation implicite $ x+z=2$.
\framebox{A}
Le plan vectoriel associé à $ {\cal P}$ contient le vecteur $ \vec{\jmath}$.
\framebox{B}
Le vecteur $ \vec{\imath}+\vec{k}$ est un vecteur normal au plan $ {\cal P}$.
\framebox{C}
Le plan $ {\cal P}$ contient la droite passant par $ O$, de vecteur directeur $ \vec{\jmath}$.
\framebox{D}
Le plan contient la droite passant par le point de coordonnées $ (1,0,1)$, de vecteur directeur $ \vec{\imath}+\vec{k}$.
\framebox{E}
Toute droite affine de vecteur directeur $ \vec{\imath}-\vec{k}$ est contenue dans le plan $ {\cal P}$.

Question 9   Dans un espace affine euclidien de dimension 3, muni d'un repère orhonormé $ (O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, on considère le plan affine $ {\cal P}$ d'équation implicite $ x+z=2$.
\framebox{A}
La distance de $ O$ au plan $ {\cal P}$ vaut $ 1$.
\framebox{B}
Toute droite de vecteur directeur $ \vec{\imath}+\vec{k}$ est perpendiculaire au plan $ {\cal P}$.
\framebox{C}
La distance de $ O$ au point de coordonnées $ (2,0,0)$ est égale à la distance de $ O$ à $ {\cal P}$.
\framebox{D}
La distance de $ O$ à la droite passant par les points $ (2,0,0)$ et $ (0,0,2)$ est strictement supérieure à la distance de $ O$ à $ {\cal P}$.
\framebox{E}
La projection orthogonale de $ O$ sur le plan $ P$ est le point de coordonnées $ (1,0,1)$.

Question 10   On considère un espace affine euclidien de dimension 3, muni d'un repère orhonormé $ (O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.
\framebox{A}
$ (\vec{\imath}+\vec{\jmath})\wedge\vec{\jmath}=\vec{k}$.
\framebox{B}
$ (\vec{\imath}+\vec{\jmath})\wedge(\vec{\imath}-\vec{\jmath})=\vec{k}$.
\framebox{C}
$ (\vec{\imath}+\vec{\jmath})\wedge\vec{\imath}=\vec{k}$.
\framebox{D}
$ \vec{\jmath}\cdot\big((\vec{\imath}+\vec{\jmath})\wedge \vec{k}\big)=1$.
\framebox{E}
$ \vec{\imath}\cdot\big((\vec{\imath}+\vec{\jmath})\wedge (\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})\big)=1$.

\framebox{\rotatebox{180}{Réponses : 1-AB 2-BD 3-BD 4-AE 5-AD 6-BC 7-AD 8-AB 9-BE 10-AE}}

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