Intervalles

Définition 4   Une partie $ I$ de $ \mathbb{R}$ est un intervalle si, dès qu'elle contient deux réels, elle contient tous les réels intermédiaires :

$\displaystyle \forall c,d\in I ,\;\forall x\in \mathbb{R}\;,\quad
(c\leqslant x\leqslant d) \;\Longrightarrow\; (x\in I)\;.
$

Par exemple, $ \mathbb{R}^+$ est un intervalle, car tout réel compris entre deux réels positifs est positif. Mais $ \mathbb{R}^*$ n'en est pas un, car il contient $ 1$ et $ -1$ sans contenir 0. L'ensemble vide et les singletons sont des cas très particuliers d'intervalles. Nous allons utiliser $ \sup$ et $ \inf$ pour caractériser tous les intervalles contenant au moins deux éléments. Ils se répartissent en 9 types, décrits dans le tableau ci-dessous. Dans ce tableau, $ a$ et $ b$ désignent deux réels tels que $ a<b$.
     
Description Définition Notation
     
fermé borné (segment) $ \{x\in\mathbb{R} ,\;a\leqslant x\leqslant b\}$ $ [a,b]$
borné, semi-ouvert à droite $ \{x\in\mathbb{R} ,\;a\leqslant x< b\}$ $ [a,b[$
borné, semi-ouvert à gauche $ \{x\in\mathbb{R} ,\;a<x\leqslant b\}$ $ ]a,b]$
ouvert borné $ \{x\in\mathbb{R} ,\;a<x< b\}$ $ ]a,b[$
     
fermé non majoré $ \{x\in\mathbb{R} ,\;a\leqslant x\}$ $ [a,+\infty[$
ouvert non majoré $ \{x\in\mathbb{R} ,\;a< x\}$ $ ]a,+\infty[$
     
fermé non minoré $ \{x\in\mathbb{R} ,\; x\leqslant b\}$ $ ]-\infty,b]$
ouvert non minoré $ \{x\in\mathbb{R} ,\;x<b\}$ $ ]-\infty,b[$
     
droite réelle $ \mathbb{R}$ $ ]-\infty,+\infty[$
Voici la discussion pour les intervalles bornés. Si un intervalle $ I$ est borné et contient deux éléments, il admet une borne inférieure et une borne supérieure distinctes. Notons

$\displaystyle a = \inf(I)$   et$\displaystyle \quad b=\sup(I)\;.
$

Par définition de $ \sup$ et $ \inf$, tout élément $ x$ de $ I$ est entre $ a$ et $ b$ :

$\displaystyle \forall x\in I\;,\quad a\leqslant x\leqslant b\;.
$

Nous allons montrer que tout réel $ x$ tel que $ a<x<b$ appartient à $ I$. En effet, si $ a<x<b$, $ x$ n'est ni un majorant, ni un minorant de $ I$. Il existe donc deux éléments $ y$ et $ z$ de $ I$ tels que $ y< x<z$. Par la définition 4, $ x$ appartient à $ I$. Selon que $ a$ et $ b$ appartiennent ou non à $ I$, on obtient les 4 premiers types du tableau.

Considérons maintenant un intervalle minoré mais non majoré. Soit $ a$ la borne inférieure. Tout élément de $ I$ est supérieur ou égal à $ a$. Montrons que $ I$ contient tous les réels $ x$ strictement supérieurs à $ a$. Comme $ x$ n'est pas un minorant, $ I$ contient un élément $ y<x$, et comme $ I$ n'est pas majoré, il contient un élément $ z>x$. Donc $ x$ appartient à $ I$. Selon que $ a$ appartient ou non à $ I$, on obtient $ 2$ types d'intervalles non majorés. Les deux types d'intervalles non minorés sont analogues.

Enfin, si un intervalle $ I$ n'est ni majoré, ni minoré, pour tout réel $ x$, on peut trouver deux réels $ y$ et $ z$ dans $ I$ tels que $ y< x<z$, ce qui entraîne $ x\in I$. Donc $ I=\mathbb{R}$.


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