Corrigé du devoir

Questions de cours :  

1. Par définition, on dit que $${\lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty}$$ si :
   $$\forall A\in\mathbb{R} ,\;\exists\eta>0\;,\quad ( 0<x\leqslant\eta )\;\Longrightarrow\; ( f(x)\geqslant A )\;.$$

2. Soit $A$ un réel non nul. Posons $\eta=\displaystyle{\frac{1}{A^2}}$. Alors :
   $$(0<x\leqslant \eta)\;\Longrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}\geqslant \frac{1}{\sqrt{\eta}}=\sqrt{A^2}\geqslant A \;.$$

3. On dit que $f(x)\sim \sqrt{x}$ au voisinage de $0^+$ si :
   $$\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)}{\sqrt{x}}=1\;.$$

4. Si $f(x)\sim \sqrt{x}$ au voisinage de $0^+$, alors :
   $$\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty\;,$$
   Car lorsque $x$ tend vers 0 par valeurs positives, $f(x)/\sqrt{x}$ tend vers $1$ et $1/\sqrt{x}$ tend vers $+\infty$.
5. On dit que $f(x)=O(\sqrt{x})$ au voisinage de $0^+$, si le rapport $f(x)/\sqrt{x}$ est borné sur un certain intervalle $]0,\eta_0]$. Or $\sqrt{x}$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $0^+$. Donc le produit de $\sqrt{x}$ par $f(x)/\sqrt{x}$ qui est borné, tend vers 0 :
   $$\lim_{x\to 0^+} f(x)=0=f(0)\;,$$
   donc $f$ est continue à droite en 0.

Exercice 1 :  

1. Pour $a>0$ :
   $$a^{1/x} = \exp\left(\frac{1}{x}\ln(a)\right)\;.$$
   Or quand $x$ tend vers $+\infty$, $1/x$ tend vers 0, donc $\ln(a)/x$ aussi, et $\exp(\ln(a)/x)$ tend vers $1$ car la fonction exponentielle est continue en 0.
2. D'après le cours, nous savons que :
   $$\lim_{y\to 0} \frac{\mathrm{e}^y-1}{y}=1\;.$$
   Par composition des limites, on en déduit :
   $$\lim_{x\to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{\ln(a)/x}-1}{\ln(a)/x}=1\;.$$
   Donc :
   $$\lim_{x\to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{\ln(a)/x}-1 -\ln(a)/x}{\ln(a)/x}=0\;,$$
   soit,
   $$\mathrm{e}^{\ln(a)/x}-1-\ln(a)/x = o(1/x)\;,$$
   ou encore,
   $$a^{1/x} = 1+\frac{\ln(a)}{x}+o(1/x)\;.$$

3. Utilisons le résultat de la question précédente.
   $$\frac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2} = 1+\frac{\ln(a)+\ln(b)}{2x} +o(1/x)= 1+\frac{\ln(\sqrt{ab})}{x}+o(1/x)\;.$$
   D'après le cours,
   $$\lim_{y\to 0}\frac{\ln(1+y)}{y}=1\;.$$
   On en déduit :
   $$\lim_{x\to +\infty} x\ln\left(\frac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2}\right) =\ln(\sqrt{ab})\;.$$
   Comme l'exponentielle est une fonction continue,
   $$\lim_{x\to +\infty} \exp\left(x\ln\left(\frac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2}\right)\right)= \exp(\ln(\sqrt{ab}))\;,$$
   soit :
   $$\lim_{x\to+\infty} \left(\frac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2}\right)^x=\sqrt{ab}\;.$$

4. Quand $y$ tend vers $+\infty$, $x=1/y$ tend vers $0^+$. Par composition des limites, on déduit de la question précédente que :
   $$\lim_{x\to 0+} \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)^{1/x}=\sqrt{ab}\;.$$
   Il suffit d'appliquer le résultat en remplaçant $a$ par $a^2$ et $b$ par $b^2$ pour trouver :
   $$\lim_{x\to 0+} \left(\frac{a^{2x}+b^{2x}}{2}\right)^{1/x}=\sqrt{a^2b^2}=ab\;.$$

Exercice 2 :  

1. La fonction $x\mapsto \vert x-1\vert/\vert x+1\vert$ est définie pour tout $x\neq -1$. Quand elle est définie, elle prend des valeurs strictement positives, sauf en $x=1$. Donc $f(x)$ est défini pour tout $x\notin\{-1,1\}$.
   $${\cal D}_f=\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}\;.$$
   Les fonctions $x\mapsto x-1$ et $x\mapsto x+1$ sont continues. La fonction $y\mapsto 1/y$ est continue en tout point de $\mathbb{R}^*$. Le produit de deux fonctions continues est continue, donc $x\mapsto (x-1)/(x+1)$ est continue sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$. La fonction $y\mapsto \vert y\vert$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc $x\mapsto \vert x-1\vert/\vert x+1\vert$ est continue sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$. La fonction $y\mapsto \ln(y)$ est continue sur $\mathbb{R}^{+*}$, donc $f$ est continue en tout point de ${\cal D}_f$.
2. Si $x\in {\cal D}_f$ alors $-x\in {\cal D}_f$ et réciproquement.
   $$f(-x)=\frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{-x-1}{-x+1}\right\vert =\frac... ...{x-1}\right\vert =-\frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{x-1}{x+1}\right\vert=-f(x)\;.$$
   Si $x\in {\cal D}_f\setminus\{0\}$, alors $1/x$ est défini et appartient à ${\cal D}_f$.
   $$f(1/x)=\frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{1/x-1}{1/x+1}\right\vert =\f... ...x}{1+x}\right\vert =\frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{x-1}{x+1}\right\vert=f(x)\;.$$

3. La fonction $f$ est continue en 0 et $f(0)=0$. Donc :
   $$\lim_{x\to 0-} f(x) =\lim_{x\to 0^+} f(x) =0\;.$$
   Lorsque $x$ tend vers $0^-$, $1/x$ tend vers $-\infty$, et lorsque $x$ tend vers $0^+$, $1/x$ tend vers $+\infty$. On en déduit :
   $$\lim_{x\to+\infty} f(1/x) = \lim_{x\to -\infty} f(1/x)=0\;.$$
   D'après la question précédente, $f(1/x)=f(x)$. Donc :
   $$\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} f(x)=0\;.$$

4. Montrons d'abord que :
   $$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}=-1\;.$$
   Pour $x$ appartenant à l'intervalle $]-1,1[$,
   $$\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{2} \left(\frac{\ln(1-x)}{x}-\frac{\ln(1+x)}{x}\right)\;.$$
   Or d'après le cours,
   $$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$$   donc$$\quad \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-x)}{x}=-1\;.$$
   Donc :
   $$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{2}(-1-1)=-1\;.$$
   Pour les limites en $+\infty$ et $-\infty$, on procède comme à la question précédente.
   $$\lim_{x\to -\infty} xf(x)= \lim_{x\to 0^-} \frac{f(1/x)}{x}=\lim_{x\to 0^-} \frac{f(x)}{x}=-1\;.$$
   De même :
   $$\lim_{x\to +\infty} xf(x)= \lim_{x\to 0^+} \frac{f(1/x)}{x}=\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)}{x}=-1\;.$$

5. Il suffit de montrer l'une des deux limites, la seconde s'en déduit en utilisant le fait que $f(-x)=-f(x)$.

   La fonction $x\mapsto \vert x-1\vert/\vert x+1\vert$ est continue en $1$. Donc :

   $$\lim_{x\to 1} \left\vert\frac{x-1}{x+1}\right\vert=0\;.$$
   Par composition des limites,
   $$\lim_{x\to 1} \frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{x-1}{x+1}\right\vert =\lim_{y\to 0+}\frac{1}{2}\ln(y)=-\infty\;.$$

6. Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $-1<x<y<1$. Alors :
   $$\left.\begin{array}{l} 1-x>1-y>0\\ 1/(1+x)>1/(1+y)>0 \end{array}\right\} \;\Longrightarrow\; \frac{1-x}{1+x}>\frac{1-y}{1+y}\;.$$
   Comme la fonction $t\mapsto \ln(t)$ est strictement croissante,
   $$f(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right) > \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1-y}{1+y}\right)=f(y)\;.$$
   Supposons maintenant $x<y<-1$. Alors $-1<1/y<1/x<0$. Or $f(1/x)=f(1/y)$. En appliquant ce qui précède,
   $$f(1/x)<f(1/y)\;\Longrightarrow\;f(x)<f(y)\;.$$
   Supposons enfin $1<x<y$. Alors $0<1/y<1/x<1$. De même :
   $$f(1/x)<f(1/y)\;\Longrightarrow\;f(x)<f(y)\;.$$

7. Voir figure 5.

   Figure: Graphe de la fonction $x\mapsto (1/2)\ln(\vert x-1\vert/\vert x+1\vert)$.

   
8. La fonction $\varphi$ est strictement décroissante sur $]-1,1[$, et continue en tout point de $]-1,1[$. De plus :
   $$\lim_{x\to -1^+}\varphi(x)=+\infty$$   et$$\quad \lim_{x\to 1^-}\varphi(x)=-\infty\;,$$
   donc $\varphi(]-1,1[)=\mathbb{R}$. D'après le théorème de la bijection, $\varphi$ est une bijection de $]-1,1[$ dans $\mathbb{R}$ et sa réciproque $\varphi^{-1}$ est une bijection strictement décroissante et continue, de $\mathbb{R}$ dans $]-1,1[$.
9. D'après le résultat précédent, l'équation $f(x)=a$ a une solution et une seule dans $]-1,1[$. Le changement de variable $x\mapsto 1/x$ montre que la restriction de $f$ à $]-\infty,-1[$ est une bijection strictement croissante de $]-\infty,0[$ dans $]0,+\infty[$. De même la restriction de $f$ à $]1,+\infty[$ est une bijection strictement croissante de $]1,+\infty[$ dans $]-\infty,0[$. Donc :

   si $a<0$, l'équation a une solution dans $]1,+\infty[$ et une dans $]-1,1[$,

   si $a>0$, l'équation a une solution dans $]-\infty,-1[$ et une dans $]-1,1[$.

10. Par définition de la réciproque, si $x\in]-1,1[$, $\varphi^{-1}\circ f(x)=\varphi^{-1}(\varphi(x))=x$.

    Si $x\in]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[$, alors :

    $$\varphi^{-1}\circ f(x)=\varphi^{-1}(f(1/x)) =\frac{1}{x}\;.$$

11. D'après les expressions obtenues précédemment :
    $$\lim_{x\to -1^-}\varphi^{-1}\circ f(x)=\lim_{x\to -1^-}\frac{1}{x}=-1$$   et$$\quad \lim_{x\to -1^+}\varphi^{-1}\circ f(x)=\lim_{x\to -1^+}x=-1\;.$$
    Les limites à gauche et à droite sont égales, donc on peut prolonger la fonction par continuité, en associant la valeur $-1$ à l'abscisse $-1$.

    De même :

    $$\lim_{x\to 1^-}\varphi^{-1}\circ f(x)=\lim_{x\to 1^-}x=1$$   et$$\quad \lim_{x\to 1^+}\varphi^{-1}\circ f(x)=\lim_{x\to 1^+}\frac{1}{x}=1\;.$$
    Les limites à gauche et à droite sont égales, donc on peut prolonger la fonction par continuité, en associant la valeur $1$ à l'abscisse $1$.