Exercices

Exercice 1   Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $]0,1]$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. Démontrer les résultats suivants.

1. La limite à droite de $f$ en 0 est $+\infty$ si et seulement si
   $$\forall n\in \mathbb{N} ,\; \exists m\in\mathbb{N}^*\;,\quad 0<x\leq(1/m)\;\Longrightarrow\; f(x)\geqslant n$$

2. La limite à droite de $f$ en 0 est $+\infty$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ de réels strictement positifs, convergeant vers 0, la suite $(f(x_n))$ tend vers $+\infty$.
3. La limite à droite de $f$ en 0 est $+\infty$ si et seulement si pour tout $a\in\mathbb{R}$,
   $$\lim_{x\rightarrow a^+} f(x-a) = +\infty$$

4. La limite à droite de $f$ en 0 est $\pm\infty$ si et seulement si :
   $$\lim_{x\rightarrow +\infty} 1/f(1/x) = 0$$

5. Si la limite à droite de $f$ et de $g$ en 0 est $+\infty$, alors il en est de même pour $f+g$ et $f*g$.

Exercice 2   Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. Soient $a$ et $l$ deux réels. Pour chacune des propriétés suivantes, que peut-on dire de $f$ lorsqu'elle est vérifiée ?

1. $\forall \varepsilon >0\;,\quad \vert x-a\vert\leqslant 1\; \Longrightarrow\; \vert f(x)-l\vert\leqslant \varepsilon$
2. $\exists \eta>0\;,\quad \vert x-a\vert\leqslant \eta\; \Longrightarrow\; \vert f(x)-l\vert\leqslant 1$
3. $\forall \varepsilon >0 ,\;\exists\eta>0\;,\quad x-a\leqslant \eta\;\Longrightarrow\; \vert f(x)-l\vert\leqslant \varepsilon$
4. $\forall \varepsilon >0 ,\;\exists\eta>0\;,\quad \vert x-a\vert\leqslant \eta\;\Longrightarrow\; f(x)-l\leqslant \varepsilon$
5. $\exists\eta>0 ,\;\forall \varepsilon >0\;,\quad \vert x-a\vert\leqslant \eta\;\Longrightarrow\; \vert f(x)-l\vert\leqslant \varepsilon$

Exercice 3   Démontrer que les applications suivantes n'ont pas de limite à droite en 0 (ni finie, ni infinie). On rappelle que si $x$ est une réel, $\lfloor x\rfloor$ désigne sa partie entière et $D(x)$ sa partie décimale.

1. $f : x\mapsto \sin(1/x)$
2. $f : x\mapsto D(1/x)$
3. $f : x\mapsto \tan(1/x)$
4. $f : x\mapsto \ln(x)\cos(1/x)$
5. $f : x\mapsto (-1)^{\lfloor 1/x \rfloor}$
6. $f : x\mapsto \left\{\begin{array}{lcl} 1&\mbox{si}& x\in \mathbb{Q}\\ 0&\mbox{si}& x\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{array}\right.$
7. $f : x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} 1/x&\mbox{si } 1/x\in \mathbb{N}\\ 0&\mbox{sinon} \end{array}\right.$

Exercice 4   Démontrer que les fonctions suivantes n'ont pas de limite en $+\infty$ (ni finie, ni infinie).

1. $f : x\mapsto \sin(x)$
2. $f : x\mapsto \tan(x)$
3. $f : x\mapsto \ln(x)\cos(x)$
4. $f : x\mapsto (-1)^{\lfloor x \rfloor}$
5. $f : x\mapsto \left\{\begin{array}{lcl} 1&\mbox{si}& x\in \mathbb{Q}\\ 0&\mbox{si}& x\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{array}\right.$
6. $f : x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} 1&\mbox{si } x\in \mathbb{N}\\ 0&\mbox{sinon} \end{array}\right.$

Exercice 5   Démontrer les résultats suivants.

$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{4x^2+1}}{2x+3}=\f... ...isplaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{4x^2+x^3}}{\vert 2x+x^2\vert}=1}$$

$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x+\sqrt{\vert x\vert}}... ...rt x\vert}+\sqrt{\vert x\vert}}{\sqrt[3]{\vert x\vert}-\sqrt{\vert x\vert}}=1}$$

$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}... ...lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt[3]{1+x}- \sqrt[3]{1-x}}{x}=\frac{2}{3}}$$

Exercice 6   Démontrer les résultats suivants.

$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{4x^2+1}}{2... ...{x\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt[3]{x^6+3x^4+1}}{\sqrt{4x^4-3}}=\frac{1}{2}}$$

$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x+\sqrt{x}}{x-\s... ..._{x\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}=-1}$$

$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\mathrm{e}^{2x}+... ...nfty} \frac{\mathrm{e}^{2x}+1}{(\mathrm{e}^x+1)(\mathrm{e}^x+2)}=\frac{1}{2}}$$

$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=... ...quad;\quad \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \sqrt[3]{1+x}- \sqrt[3]{x-1}=0}$$

Exercice 7   Démontrer les résultats suivants.

$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos^2(x)}{x^2}=1} \... ...;\quad \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}}$$

$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\tan(x)}{x}=1} \quad;\... ...style{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\tan(x)(1-\cos(x))}{\sin^3(x)}=\frac{1}{2}}$$

$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln(1-2x)}{\sin(3x)}=-... ... \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x^2}-1}{\cos(x)-1}=-2}$$

$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} (1+x)^{1/x}=e} \quad;\quad \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} (1-x^2)^{1/x}=1}$$

Exercice 8   Déterminer les limites suivantes.

$$\lim_{x\rightarrow +\infty} x^2\mathrm{e}^{-\sqrt{x}} \quad;\quad \lim_{x\rightarrow +\infty} x^4\ln^2(x)\mathrm{e}^{-\sqrt{x}}$$

$$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x\ln(x)}{x^2+1} \quad;\quad \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^2(\ln(x)+\cos(x))}{x^2+\sin(x)}$$

$$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{x^2} \qu... ...uad \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\mathrm{e}^{-\sqrt[3]{x}}}{x^3\ln^3(x)}$$

$$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln^2(x)} \quad;\quad \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\ln^2(x)\ln(\ln(x))}{\sqrt{x}}$$

$$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}{\ln(\ln(x))} \quad;\quad \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\ln(\ln(\ln(x)))}{\ln(\ln(x))}$$

$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0+} x^x} \quad;\quad \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0+} \vert\ln(x)\vert^x}$$

Exercice 9   Démontrer les résultats suivants.

$$\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x}} = 0 \quad;\quad \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x^2}{1-\sqrt{x}} = 4$$

$$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x^2}{\sqrt{x}-\sqrt{2x-1}} = 4 \quad;\quad \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x^2}{\sqrt{x+1}-\sqrt{3x-1}} = 2\sqrt{2}$$

$$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\ln(x)}{x-1} = 1 \quad;\quad \lim_{x\rightarrow 1} (\sqrt{x}-1)\ln(\ln(x))=0$$

$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \pi/2} \frac{\cos(x)}{2x-\pi}=-... ...2}} \quad;\quad \displaystyle{\lim_{x\rightarrow \pi/2} (1-\sin(x))\tan(x)=0}$$

$$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \pi/4} \frac{\sin(x)-\cos(x)}{1... ...playstyle{\lim_{x\rightarrow \pi/4} \frac{\sin(x)-\cos(x)}{x-\pi/4}=\sqrt{2}}$$

Exercice 10   Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant 0. Démontrer les résultats suivants, qui concernent tous des comparaisons au voisinage de 0.

1. Si $f(x)=O(x^2)$ alors $f=o(x)$.
2. Si $xf(x)=O(x^2)$ alors $f=O(x)$.
3. Si $f(x)=o(x)$ alors $f(x)=o(\sqrt{x})$.
4. Si $f(x)-x=o(x)$ alors $f(x)\sim x$.
5. Si $f(x)\sim x$ alors $f(x)-x=o(x)$.
6. Si $f(x)=O(x^2)$ alors $f(x)-x\sim -x$.

Exercice 11   Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[A,+\infty[$. Démontrer les résultats suivants, qui concernent tous des comparaisons au voisinage de $+\infty$.

1. Si $f(x)=O(x)$ alors $f(x)=o(x^2)$.
2. Si $xf(x)=O(x^2)$ alors $f=O(x)$.
3. Si $f(x)=o(\sqrt{x})$ alors $f(x)=o(x)$.
4. Si $f(x)-x=o(x)$ alors $f(x)\sim x$.
5. Si $f(x)\sim x$ alors $f(x)-x=o(x)$.
6. Si $f(x)=O(\sqrt{x})$ alors $f(x)-x\sim -x$.

Exercice 12   Justifier les équivalents suivants, au voisinage de 0

$$\frac{x^3-2x^2}{x^2-x}\sim 2x \quad;\quad \frac{x^3-2x^2-1}{x^2-x}\sim \frac{1}{x}$$

$$x^2-2x^3\sin(1/x)\sim x^2 \quad;\quad \frac{x+x^2\sin(1/x)}{x^2-x^3\cos(1/x)}\sim \frac{1}{x}$$

$$\frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\sqrt{\mathrm{e}^x-1}}\sim 2\sqrt{x} \quad;\quad \frac{\ln^2(1+x)}{\ln(1-x)}\sim -x$$

Exercice 13   Justifier les équivalents suivants, au voisinage de $+\infty$

$$\frac{x^3-2x^2}{x^2-x}\sim x \quad;\quad \frac{x^3-2x^2-1}{x^2-x^4}\sim -\frac{1}{x}$$

$$\lfloor x\rfloor \sim x \quad;\quad \frac{x^2+\cos(x)}{x+\sin(x)}\sim x$$

$$\frac{\mathrm{e}^{2x}-2}{\mathrm{e}^x-1}\sim \mathrm{e}^x \quad;\... ...rac{\mathrm{e}^{-2x}-2\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{-x}-1}\sim 2\mathrm{e}^{-x}$$

Exercice 14   Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, démontrer directement qu'elle est continue en tout point de son domaine de définition, sans utiliser les théorèmes du cours.

1. $f : x\mapsto x^2$
2. $f : x\mapsto \displaystyle{\frac{1}{x^2}}$
3. $f : x\mapsto \sqrt{x}$
4. $f : x\mapsto \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x-1}}}$

Exercice 15   Si $x$ est un réel, on note $\lfloor x\rfloor$ sa partie entière et $D(x)=x-\lfloor x\rfloor$ sa partie décimale. Pour chacune des fonctions $f$ suivantes : dire en quels points de $\mathbb{R}$ elle est continue, continue à gauche ou continue à droite, et le démontrer.

1. $f : x\mapsto D(x)$
2. $f : x\mapsto D(1-x)$
3. $f : x\mapsto D(1/x)$
4. $f : x\mapsto x\lfloor 1/x\rfloor$
5. $f : x\mapsto \lfloor x\rfloor + 2 D(x)$
6. $f : x\mapsto \lfloor x\rfloor + \sqrt{D(x)}$
7. $f : x\mapsto \lfloor x\rfloor + D(x)^2$
8. $f : x\mapsto \sqrt{\lfloor x\rfloor} + D(x)$
9. $f : x\mapsto (-1)^{\lfloor x\rfloor}(D(x)-1/2)$
10. $f : x\mapsto \lfloor \cos(1/x)\rfloor$
11. $f : x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} 1&\mbox{si } x\in \mathbb{Q}\\ 0&\mbox{sinon} \end{array}\right.$
12. $f : x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} x&\mbox{si } x\in \mathbb{Q}\\ 0&\mbox{sinon} \end{array}\right.$

Exercice 16   Pour chacune des fonctions $f$ suivantes : déterminer son domaine de définition, représenter son graphe, et montrer qu'elle se prolonge par continuité en une fonction définie et continue sur $\mathbb{R}$.

1. $f : x\mapsto (x^2+x)/\sqrt{\vert x\vert}$
2. $f : x\mapsto x\cos(1/x)$
3. $f : x\mapsto (1/x^2)\mathrm{e}^{-1/x^2}$
4. $f : x\mapsto (1/(x^2-1))\mathrm{e}^{-1/(x^2-1)^2}$
5. $f : x\mapsto (x^2-4)\ln(\vert x^2-4\vert)$

Exercice 17    

1. Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$, continue en 0, et telle que
   $$\forall x\in \mathbb{R}\;,\quad f(2x)=f(x)$$
   Démontrer par récurrence que
   $$\forall x\in \mathbb{R} ,\;\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad f(x)=f(2^{-n}x)$$
   En déduire que $f$ est constante.
2. Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}^{+*}$, continue en $1$, et telle que
   $$\forall x\in \mathbb{R}\;,\quad f(x^2)=f(x)$$
   Démontrer par récurrence que
   $$\forall x\in \mathbb{R} ,\;\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad f(x)=f(x^{1/2n})$$
   En déduire que $f$ est constante.

Exercice 18    

1. Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, continue sur $\mathbb{R}$. On définit $g$ par
   $$g(x) = \left\{\begin{array}{ll} 0&\mbox{si } x\leqslant 0\\ f(\sqrt{x})-f(-\sqrt{x})&\mbox{si } x>0 \end{array}\right.$$
   Démontrer que $g$ est continue sur $\mathbb{R}$.
2. Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, continue en 0. On suppose que :
   $$\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad f(x+y)=f(x)+f(y)$$
   Démontrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
3. Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, continue en 0. On suppose que :
   $$\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad f(x+y)=f(x)f(y)$$
   Démontrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
4. Soit $f$ une fonction de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$, croissante. On suppose que :
   $$\forall y\in [f(0),f(1)] ,\;\exists x\in [0,1]\;,\quad f(x)=y$$
   Démontrer que $f$ est continue sur $[0,1]$.

Exercice 19   Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, définie sur un intervalle $I$, et à valeurs dans $\mathbb{R}$ : déterminer le sens de variation de $f$. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ dans $I$. Donner un intervalle d'approximation d'amplitude $10^{-2}$ pour chaque solution.

1. $I=\mathbb{R}$, $${f : x\longmapsto x^3+1}$$
2. $I=\mathbb{R}$, $${f : x\longmapsto x^5+1}$$
3. $I=\mathbb{R}$, $${f : x\longmapsto x^5-5x+1}$$
4. $I=]-2,0[$, $${f : x\longmapsto 2x\sqrt{x+2}+1}$$
5. $I=]-1,0[$, $${f : x\longmapsto x^2-2+1/\sqrt{x+1}}$$
6. $I=]0,1[$, $${f : x\longmapsto x-\cos(x)}$$
7. $I=]0,\pi/2[$, $${f : x\longmapsto \tan(x)-x+2}$$
8. $I=[0,+\infty[$, $${f : x\longmapsto 2x\ln(x)-x+1}$$

Exercice 20   Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, définie sur un intervalle $I$, et à valeurs dans $\mathbb{R}$ : déterminer le sens de variation de $f$. Déterminer $f(I)$. Démontrer que $f$ est une bijection de $I$ vers $f(I)$.

1. $I=[0,+\infty[$, $${f : x\longmapsto x^2}$$
2. $I=\mathbb{R}$, $${f : x\longmapsto x^3}$$
3. $I=\mathbb{R}$, $${f : x\longmapsto \frac{x}{1+\vert x\vert}}$$
4. $I=[0,\pi/2[$, $${f : x\longmapsto \frac{\sqrt{x^2+1}}{\cos(x)}}$$
5. $I=[0,\pi/2[$, $${f : x\longmapsto \tan(x)-x}$$