Fonctions oscillantes, intervalle non borné

Nous considérons ici $ \int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$, où $ f(t)$ oscille jusqu'à l'infini entre des valeurs positives et négatives (figure 5).
Figure 5: Intégrale d'une fonction oscillante sur un intervalle non borné.
\includegraphics[width=8cm]{intcv3}
La définition de la convergence reste la même.

$\displaystyle \int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t = \lim_{x\rightarrow+\infty} \int_a^x f(t) \mathrm{d}t\;.$

Contrairement au cas des fonctions positives, où la limite était soit finie, soit égale à $ +\infty$, tous les comportements sont possibles ici : les valeurs de $ \int_a^x f(t) \mathrm{d}t$ peuvent tendre vers une limite finie, vers $ +\infty$ ou $ -\infty$ ou bien encore osciller entre deux valeurs finies (comme $ \int_a^x \sin(t) \mathrm{d}t$), ou s'approcher alternativement de $ +\infty$ et $ -\infty$ (comme $ \int_a^x
t\sin(t) \mathrm{d}t$).

Le cas le plus favorable est celui où la valeur absolue de $ f$ converge.

Définition 2   Soit $ f$ une fonction continue sur $ [a,+\infty[$. On dit que $ \int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ est absolument convergente si $ \int_a^{+\infty} \vert f(t)\vert \mathrm{d}t$ converge.

Le théorème suivant est souvent utilisé pour démontrer la convergence d'une intégrale. Malheureusement, il ne permet pas de calculer la valeur de cette intégrale.

Théorème 5   Si l'intégrale $ \int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ est absolument convergente, alors elle est convergente.

Démonstration : Rappelons la définition : $ \int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ converge si et seulement si $ \int_a^{x} f(t) \mathrm{d}t$ converge. Posons $ F(x)=\int_a^{x} f(t) \mathrm{d}t$. Nous allons démontrer que, pour toute suite $ (x_n)_{n\in\mathbb{N}}$, tendant vers l'infini, la suite $ (F(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy. Sans perte de généralité, nous pouvons supposer que la suite $ (x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante. Par la relation de Chasles, pour tout couple d'entiers $ (n,m)$ avec $ n<m$ :

$\displaystyle \vert F(x_m)-F(x_n)\vert=\left\vert\int_{x_n}^{x_m}f(t) \mathrm{d}t\right\vert
\leqslant \int_{x_n}^{x_m} \vert f(t)\vert \mathrm{d}t
$

Or par hypothèse, l'intégrale $ \int_a^{+\infty} \vert f(t)\vert \mathrm{d}t$ converge. On en déduit que la suite de terme général $ \int_a^{x_n} \vert f(t)\vert \mathrm{d}t$ converge : c'est donc une suite de Cauchy. Pour tout $ \varepsilon>0$, il existe $ n_0$ tel que pour $ m>n>n_0$,

$\displaystyle \vert F(x_m)-F(x_n)\vert
\leqslant \int_{x_n}^{x_m} \vert f(t)\vert \mathrm{d}t <\varepsilon\;.
$

La suite $ (F(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy, donc elle converge. Puisque c'est vrai pour toute suite $ (x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tendant vers l'infini, la fonction $ x\mapsto F(x)$ admet une limite en $ +\infty$, d'où le résultat.$ \square$ Par exemple,

$\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2} \mathrm{d}t\;$ est absolument convergente,

donc convergente. En effet pour tout $ t$,

$\displaystyle \frac{\vert\sin(t)\vert}{t^2}\leqslant \frac{1}{t^2}\;.
$

Or l'intégrale de Riemann $ \int_1^{+\infty} t^{-2} \mathrm{d}t$ est convergente. D'où le résultat par le théorème de comparaison 1. Par contre,

$\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t\;$ n'est pas absolument convergente.

Voici un moyen de le vérifier. Comme $ \vert\sin(t)\vert\leqslant 1$ pour tout $ t$, on a :

$\displaystyle \frac{\vert\sin(t)\vert}{t} \geqslant \frac{\sin^2(t)}{t} = \frac{1-2\cos(2t)}{2t}\;.
$

En appliquant une intégration par parties à $ \frac{\cos(2t)}{t}$, on obtient :

$\displaystyle \int_1^x \frac{1-2\cos(2t)}{2t} \mathrm{d}t
= \frac{1}{2}\Big[\...
...sin(2t)}{t}\right]_1^x
+\frac{1}{2}\int_1^x \frac{\sin(2t)}{t^2} \mathrm{d}t.
$

Or $ \int_1^{+\infty}\frac{\sin(2t)}{t^2} \mathrm{d}t$ converge absolument, comme nous venons de le voir. Des 3 termes de la somme ci-dessus, les deux derniers convergent, le premier tend vers $ +\infty$. Donc l'intégrale diverge, et par le théorème de comparaison 1, l'intégrale $ \int_1^{+\infty}
\frac{\vert\sin(t)\vert}{t} \mathrm{d}t$ diverge également.

Il se trouve que

$\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t\;$ converge.

Pour le montrer, effectuons une intégration par parties :

$\displaystyle \int_1^x \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t = \left[\frac{-\cos(t)}{t}\right]_1^x
- \int_1^x \frac{\cos(t)}{t^2} \mathrm{d}t\;.
$

La fonction $ \frac{\cos(t)}{t}$ tend vers 0 (car $ \cos(t)$ est borné et $ \frac{1}{t}$ tend vers 0). Par comparaison avec l'intégrale de Riemann $ \int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2} \mathrm{d}t$, on montre que l'intégrale $ \int_1^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^2} \mathrm{d}t$ est absolument convergente, donc convergente. Par conséquent, $ \int_1^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t$ converge.

Pour montrer qu'une intégrale converge quand elle n'est pas absolument convergente, on dispose du théorème suivant, dit théorème d'Abel.

Théorème 6   Soit $ f$ une fonction continûment dérivable sur $ [a,+\infty[$, positive, décroissante, ayant une limite nulle en $ +\infty$. Soit $ g$ une fonction continue sur $ [a,+\infty[$, telle que la primitive $ \int_a^x g(t) \mathrm{d}t$ soit bornée. Alors l'intégrale

$\displaystyle \int_a^{+\infty} f(t) g(t) \mathrm{d}t\;$ converge.

Démonstration : C'est une généralisation de l'exemple précédent. Pour tout $ x\geqslant a$, posons $ G(x) = \int_a^x g(t) \mathrm{d}t$. Par hypothèse, $ G$ est bornée, donc il existe $ M$ tel que pour tout $ x$, $ \vert G(x)\vert\leqslant M$. Effectuons maintenant une intégration par parties.

$\displaystyle \int_a^x f(t) g(t) \mathrm{d}t = \Big[ f(t) G(t)\Big ]_a^x
-\int_a^x f'(t) G(t) \mathrm{d}t\;.
$

Comme $ G$ est bornée et $ f$ tend vers 0, le premier terme converge. Montrons maintenant que le deuxième converge aussi, en vérifiant que

$\displaystyle \int_a^{+\infty} f'(t) G(t) \mathrm{d}t\;$    est absolument convergente.$\displaystyle $

On a :

$\displaystyle \vert f'(t) G(t)\vert =\vert f'(t)\vert \vert G(t)\vert \leqslant (-f'(t)) M\;,
$

car $ f$ est décroissante (donc $ f'(t)\leqslant 0$) et $ \vert G\vert$ est bornée par $ M$. Par le théorème de comparaison 1, il suffit donc de montrer que $ \int_a^{+\infty} -f'(t)  \mathrm{d}t$ est convergente. Or :

$\displaystyle \int_a^x -f'(t) \mathrm{d}t = f(a)-f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}(f(a)-f(x)) = f(a)\;.
$

$ \square$ Comme exemple d'application, si $ \alpha$ est un réel strictement positif, et $ k$ un entier positif impair, alors l'intégrale

$\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\sin^k(t)}{t^\alpha} \mathrm{d}t\;$ converge.

Remarquons que cette intégrale n'est absolument convergente que pour $ \alpha>1$. On vérifie que les hypothèses du théorème 6 sont satisfaites pour $ f(t) = t^{-\alpha}$ et $ g(t)=\sin^k(t)$. Pour s'assurer que la primitive de $ \sin^k$ est bornée, il suffit de penser à une linéarisation, qui transformera $ \sin^k(t)$ en une combinaison linéaire des $ \sin(h t) ,\;h=1\ldots k$, dont la primitive sera toujours bornée.

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