Exercices

Exercice 1   Pour chacune des fonctions $ f : t\longmapsto f(t)$ suivantes :

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{t(t+1)}
\quad;\quad
f(t)= \frac{1}{t(t+1)(t+2)}\;;
$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{t\ln^2(t)}
\quad;\quad
f(t) = \frac{1}{t\ln(t)(\ln(\ln(t))^3}\;.
$

  1. Calculer pour tout $ x\geqslant 1$, $ \displaystyle{\int_1^x f(t) \mathrm{d}t}$.
  2. En déduire $ \displaystyle{\int_1^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t}$.

Exercice 2   Pour chacune des fonctions $ f : t\longmapsto f(t)$ suivantes :

$\displaystyle f(t) = \mathrm{e}^{-t}\cos(t)
\quad;\quad
f(t)= \mathrm{e}^{-t}\sin(t)\;;
$

$\displaystyle f(t) = t\mathrm{e}^{-t}
\quad;\quad
f(t) = \frac{1}{\cosh(t)}\;.
$

  1. Calculer pour tout $ x\geqslant 0$, $ \displaystyle{\int_0^x f(t) \mathrm{d}t}$.
  2. En déduire $ \displaystyle{\int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t}$.

Exercice 3   Soit $ x$ un réel strictement compris entre 0 et $ 1$.
  1. Calculer $ \displaystyle{\int_{\frac{1}{2}}^x \frac{2}{1-t^2} \mathrm{d}t}$.
  2. En utilisant une intégration par parties, en déduire $ I(x)=\displaystyle{\int_{\frac{1}{2}}^x \frac{\ln(1-t^2)}{t^2} \mathrm{d}t}$.
  3. Quelle est la limite à droite en 0 de $ I(x)$ ?
  4. Quelle est la limite à gauche en $ 1$ de $ I(x)$ ?

Exercice 4   Démontrer les résultats suivants

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t
\;$ converge.$\displaystyle \qquad
\int_{-\infty}^{+\infty} t^4\mathrm{e}^{-t^2+t} \mathrm{d}t
\;$ converge.$\displaystyle $

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2+2t+3} \mathrm{d}t
\;$ converge.$\displaystyle \qquad
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2+2t} \mathrm{d}t
\;$ diverge.$\displaystyle $

$\displaystyle \int_0^\infty t^{-1}(\ln(t))^{-2} \mathrm{d}t
\;$ diverge.$\displaystyle \qquad
\int_0^\pi \frac{\cos(t)}{\sqrt{\sin(t)}} \mathrm{d}t
\;$ converge.$\displaystyle $

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^3(t)}{\sqrt{t^4+2t^8}} \mathrm{d}t
\;$ converge.$\displaystyle \qquad
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2(t)}{\sqrt{t^2+2}} \mathrm{d}t
\;$ diverge.

$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{t\sqrt{1-t}} \mathrm{d}t
\;$ diverge.$\displaystyle \qquad
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^2+1}{\sqrt{\vert t\vert}}\mathrm{e}^{-\vert t\vert} \mathrm{d}t
\;$ converge.

Exercice 5   Démontrer que les intégrales suivantes convergent et calculer leur valeur.

$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{(1+t^2)\sqrt{1-t^2}} \mathrm{d}t
\quad;\quad
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2+\sin(t)}{t^2+1} \mathrm{d}t\;;
$

$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sqrt{t} \sin(\frac{1}{t^2})}{\ln(1+t)} \mathrm{d}t
\quad;\quad
\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t\ln(t)} \mathrm{d}t\;.
$

Exercice 6   Étudier la convergence des intégrales suivantes.

$\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{\ln(t)}{t+\mathrm{e}^{-t}} \mathrm{d}t
\quad;\quad
\int_1^{+\infty} \frac{\vert\sin(t)\vert}{t^2+1} \mathrm{d}t
\;;
$

$\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\ln(t)}{t}\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t
\quad;\quad
\int_0^{+\infty} \left(t+2-\sqrt{t^2+4t+1}\right) \mathrm{d}t
\;;
$

$\displaystyle \int_0^{+\infty}\left(\sqrt[3]{t^3+1}-\sqrt{t^2+1}\right) \mathrm{d}t
\quad;\quad
\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{-\sqrt{t^2-t}}\mathrm{d}t
\;;
$

$\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{\sqrt{x}}{(\ln(t))^3} \mathrm{d}t
\quad;\q...
...nt_1^{+\infty} \frac{2+ \sin(t)+\sin^2(t)}{\sqrt[3]{t^4+t^3}} \mathrm{d}t
\;;
$

$\displaystyle \int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t
\quad;\quad
\int_0^{+\infty} t^2\mathrm{e}^{-t^2+2t} \mathrm{d}t
\;;
$

$\displaystyle \int_2^{+\infty} \frac{\sqrt{t}}{(\ln(t))^3} \mathrm{d}t
\quad;\quad
\int_1^{+\infty} t^{-\frac{t}{t+1}} \mathrm{d}t
\;;
$

$\displaystyle \int_0^{+\infty}{\sqrt{t+2}}\;{\sin\left(\frac{3}{(t+1)^2}\right)...
...+\infty}{\sqrt{t^2+2t}}\;{\sin\left(\frac{2}{(t+1)^2}\right)} \mathrm{d}t
\;;
$

$\displaystyle \int_0^1 \frac{\sqrt{\ln(1+t)}}{\arctan(t+t^2)} \mathrm{d}t
\quad;\quad
\int_0^1 \frac{\sqrt{\ln(1+t)}}{\arctan(t^2+t^3)} \mathrm{d}t
\quad;
$

$\displaystyle \int_1^2 \frac{\sqrt{\ln(t)}}{\arctan(t^2+t-2)} \mathrm{d}t
\quad;\quad
\int_1^2 \frac{\sqrt{\ln(t)}}{\arctan(t^2-2t+1)} \mathrm{d}t
\;.
$

Exercice 7   Étudier la convergence des intégrales suivantes.

$\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln(t)}{1-t} \mathrm{d}t
\quad;\quad
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2+\sin(t)}{t^2+1} \mathrm{d}t\;;
$

$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t\ln(t)} \mathrm{d}t
\quad;\quad...
..._{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2(t)}{t(1-t^2)\ln\vert t\vert} \mathrm{d}t\;.
$

Exercice 8   Dans chacun des cas suivants, la fonction $ f$ est supposée continue sur $ \mathbb{R}^+$, affine par morceaux, et nulle en 0.

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^*\;,\quad f(n)=1 ,\; f(n-1/n)=f(n+1/n)=0$ (a)

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^*\;,\quad f(n)=1/n ,\; f(n-1/n)=f(n+1/n)=0$ (b)

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^*\;,\quad f(n)=n ,\; f(n-1/n^2)=f(n+1/n^2)=0$ (c)

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^*\;,\quad f(n)=n ,\; f(n-1/n^3)=f(n+1/n^3)=0$ (d)

Pour chacun de ces cas.
  1. La fonction $ f$ admet-elle une limite en $ +\infty$ ?
  2. L'intégrale $ \displaystyle{\int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t}$ est-elle convergente ?

Exercice 9   On rappelle la tangente hyperboliques est définie par :

$\displaystyle \tanh(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}\;.
$

  1. Vérifier que $ \displaystyle{\tanh(x)=1-\frac{2}{\mathrm{e}^{2x}+1}}$.
  2. Déterminer les deux réels $ a$ et $ b$ tels que la fonction $ f :
x\longmapsto x\tanh(x)-(ax+b)$ soit d'intégrale convergente sur $ [0,+\infty[$.

Exercice 10   On rappelle que pour tout $ x\in \mathbb{R}$, $ \arctan(x)$ est défini comme l'unique angle $ \theta\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ tel que $ \tan(\theta)=x$.
  1. Vérifier que pour tout $ x\in \mathbb{R}$, $ \arctan(x)=-\arctan(-x)$, et que pour tout $ x>0$, $ \arctan(x)+\arctan(\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2}$.
  2. Déterminer les deux réels $ a$ et $ b$ tels que l'intégrale de la fonction $ f : x\longmapsto \arctan(x^2)-(ax+b)$ soit convergente sur $ \mathbb{R}$.

Exercice 11   Pour tout $ n\geqslant 1$, on pose :

$\displaystyle u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\vert\sin(t)\vert}{t} \mathrm{d}t\;.
$

  1. Déterminer un réel $ a>0$ tel que pour tout $ x\in
[n\pi+\frac{\pi}{4},n\pi+\frac{3\pi}{4}]$, $ \sin(x)\geqslant a$.
  2. En déduire un réel $ b>0$ tel que $ u_n\geqslant \frac{b}{n+1}$.
  3. En déduire que l'intégrale $ \displaystyle{\int_\pi^{+\infty} \frac{\vert\sin(t)\vert}{t} \mathrm{d}t}$ est divergente.

Exercice 12   Soit $ a$ un nombre réel.
  1. Discuter, en fonction de $ a$, la nature de l'intégrale $ \displaystyle{\int_0^1 \frac{1}{a-t}\sqrt{\frac{1-t}{t}} \mathrm{d}t}$.
  2. Utiliser le changement de variable $ t\mapsto u=\sqrt{\frac{1-t}{t}}$ pour calculer cette intégrale pour $ a=2$.

Exercice 13   Soient $ a$ et $ b$ deux réels. Discuter en fonction de $ a$ et $ b$ la nature de l'intégrale suivante.

$\displaystyle \int_0^1 t^{-a}(1-t)^{-b} \mathrm{d}t\;.
$

Exercice 14   Soient $ a$ et $ b$ deux réels. Discuter en fonction de $ a$ et $ b$ la nature de l'intégrale suivante.

$\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\ln(1+t^a)}{t^b} \mathrm{d}t\;.
$

Exercice 15   Soient $ a,b,c$ trois réels. Discuter en fonction de $ a,b,c$ la nature de l'intégrale suivante.

$\displaystyle \int_0^1 \frac{t^c}{(1-t)^a\vert\ln(1-t)\vert^b} \mathrm{d}t\;.
$

Exercice 16   Utiliser le théorème d'Abel pour démontrer que les intégrales suivantes convergent. Montrer qu'elles ne convergent pas absolument.

$\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\sin(t)}{\sqrt{t^2+t}} \mathrm{d}t
\;,\qu...
...rm{d}t
\;,\quad
\int_3^{+\infty} \frac{\sin^5(t)}{\ln(\ln(t))} \mathrm{d}t\;.
$

Exercice 17   Soit $ f$ une fonction continue sur $ \mathbb{R}$, périodique de période $ 1$ et telle que $ \displaystyle{\int_0^1 f(t) \mathrm{d}t=0}$.
  1. Appliquer le critère d'Abel pour démontrer que $ \displaystyle{\int_0^{+\infty} \frac{f(t)}{t^a} \mathrm{d}t}$ converge pour tout $ a$ tel que $ 0<a<1$.
  2. En utilisant le changement de variable $ t\mapsto u=t^\alpha$, démontrer que l'intégrale $ \displaystyle{\int_0^{+\infty}
f(t^\alpha) \mathrm{d}t}$ converge pour tout $ \alpha>1$.


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