Fonctions circulaires

Le cercle trigonométrique (figure 3) est le cercle centré à l'origine et de rayon 1, dans le plan muni d'un repère orthonormé. Les angles sont mesurés en radians, à partir de l'axe des abscisses orienté vers la droite, et en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens trigonométrique). La demi-droite partant de l'origine $ O$ et d'angle $ \theta $ coupe le cercle en un point $ M$. Observons que la longueur de l'arc de cercle allant de $ I$ à $ M$ est égale à $ \theta $.
Figure 3: Cercle trigonométrique, sinus, cosinus et tangente d'un angle.
\includegraphics[width=8cm]{trigo}
Par définition :
$ \bullet$
le cosinus de l'angle $ \theta $ est l'abscisse du point $ M$.
$ \bullet$
le sinus de l'angle $ \theta $ est l'ordonnée du point $ M$.
$ \bullet$
la tangente de l'angle $ \theta $ est le rapport du sinus sur le cosinus.
Donc :

$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\cos(\theta) \overrightarrow{OI}+
\sin(\theta) \overrightarrow{OJ}\;.
$

Sur la figure 3, la tangente est l'ordonnée du point $ T$. Le théorème de Pythagore se traduit par :

$\displaystyle \cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1\;.
$

Montrons tout de suite deux inégalités qui nous serviront plus tard à étudier la dérivée de ces fonctions.

Lemme 1   Soit $ \theta $ un angle tel que $ 0\leqslant\theta\leqslant\pi/2$. Alors :

$\displaystyle \sin(\theta)\leqslant \theta\leqslant \tan(\theta)\;.
$

Démonstration : voir la figure 3 pour les notations. L'aire du triangle $ OIM$ vaut $ \sin(\theta)/2$. L'aire du secteur angulaire $ OIM$ vaut $ \theta/2$ (elle est proportionnelle à $ \theta $, et l'aire du cercle est $ \pi$). L'aire du triangle $ OIT$ vaut $ \tan(\theta)/2$. D'où le résultat.$ \square$ Deux angles qui différent d'un multiple de $ 2\pi$ correspondent au même point sur le cercle, et donc aux mêmes valeurs des fonctions trigonométriques. Le cosinus et le sinus sont donc périodiques de période $ 2\pi$ (figure 4). La fonction tangente est définie pour tout angle dont le cosinus est non nul, à savoir tout angle différent de $ \pi/2$ modulo $ \pi$. Elle est périodique de période $ \pi$. Il est bon de connaître les relations suivantes, ou de savoir les retrouver rapidement en dessinant le cercle.

\begin{displaymath}
\begin{array}{\vert lcr\vert lcr\vert lcr\vert}
\hline
\sin(...
...sin(x)&\tan(\frac{\pi}{2}+x)&=&-1/\tan(x)\\
\hline
\end{array}\end{displaymath}

Figure 4: Fonctions sinus, cosinus et tangente.
\includegraphics[width=8cm]{sincostan}
Nous ne vous conseillons pas d'apprendre par c\oeur des nuées de formules trigonométriques ; vous devez bien sûr retenir $ \cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1$, et vous devez également connaître les formules d'addition qui suivent.

Proposition 3   Soient $ a$ et $ b$ deux réels.
$ \bullet$
$ \cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$
$ \bullet$
$ \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\;.$

Figure 5: Somme de deux angles.
\includegraphics[width=8cm]{trigosomme}
Démonstration : reportez-vous à la figure 5 pour les notations. Notons $ K$ le point d'intersection avec le cercle de la demi-droite d'angle $ a$, $ L$ le point d'intersection de la demi-droite d'angle $ a+\pi/2$, $ M$ le point d'intersection de la demi-droite d'angle $ a+b$. Par définition :

$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\cos(b) \overrightarrow{OK}+
\sin(b) \overrightarrow{OL}\;.
$

Or :

$\displaystyle \overrightarrow{OK}=\cos(a) \overrightarrow{OI}+
\sin(a) \overrightarrow{OJ}$   et$\displaystyle \quad
\overrightarrow{OL}=-\sin(a) \overrightarrow{OI}+
\cos(a) \overrightarrow{OJ}
\;.
$

En reportant ces expressions :
$\displaystyle \overrightarrow{OM}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos(b)\Big(
\cos(a) \overrightarrow{OI}+
\sin(a) \overrightarr...
...+
\sin(b)\Big(-\sin(a) \overrightarrow{OI}+
\cos(a) \overrightarrow{OJ}
\Big)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \Big(\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\Big) \overrightarrow{OI}
+
\Big(\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\Big) \overrightarrow{OJ}\;.$  

D'où le résultat.$ \square$ Il ne nous reste plus qu'à démontrer la dérivabilité.

Proposition 4   Les fonctions sinus et cosinus sont indéfiniment dérivables sur $ \mathbb{R}$.

$\displaystyle \sin'(x)=\cos(x)$   et$\displaystyle \quad
\cos'(x)=-\sin(x)\;.
$

La fonction tangente est indéfiniment dérivable sur tout intervalle où elle est définie.

$\displaystyle \tan'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)\;.
$

Démonstration : Nous commençons par la dérivabilité en 0 du sinus, en utilisant les inégalités du lemme 1. La fonction sinus étant impaire, nous pouvons nous contenter de limites à droite en 0. De $ 0\leqslant\sin(h)\leqslant h$, on déduit que $ \sin$ est continue en 0, et puisque $ \cos^2(h)+\sin^2(h)=1$, il en est de même de $ \cos$ :

$\displaystyle \lim_{h\to 0}\sin(h)=0$   et$\displaystyle \quad
\lim_{h\to 0}\cos(h)=1\;.
$

D'autre part, pour tout $ h>0$ :
    $\displaystyle \sin(h)\leqslant h\leqslant \tan(h)$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{\sin(h)}{h}\leqslant 1\leqslant \frac{1}{\cos(h)} 
\frac{\sin(h)}{h}$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle \cos(h)\leqslant\frac{\sin(h)}{h}\leqslant 1\;.$  

Donc :

$\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}=1\;.
$

La fonction sinus est dérivable en 0 et $ \sin'(0)=1$. Passons maintenant au cosinus, toujours en 0. Écrivons :

$\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}
=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\cos(h)+1...
...c{\cos^2(h)-1}{h}
=\lim_{h\to 0}\frac{-\sin(h)}{\cos(h)+1}\frac{\sin(h)}{h}\;.
$

Les résultats précédents permettent d'en déduire que :

$\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0
$

La fonction cosinus est dérivable en 0 et $ \cos'(0)=0$. Il ne reste plus qu'à utiliser les formules de sommation pour calculer les dérivées en un point quelconque. Écrivons le taux d'accroissement de la fonction sinus en $ a$, évalué en $ a+h$ :
$\displaystyle \tau_a(a+h)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle{\frac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle{
\frac{1}{h}\big( \sin(a)\cos(h)+\cos(a)\sin(h)-\sin(a) \big)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle{
\sin(a)\frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(a)\frac{\sin(h)}{h}}\;.$  

On sait que :

$\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0
$   et$\displaystyle \quad
\lim_{h\to 0} \frac{\sin(h)}{h}=1\;.
$

Donc :

$\displaystyle \lim_{h\to 0} \tau_a(a+h)=\cos(a)\;.
$

Écrivons maintenant le taux d'accroissement de la fonction cosinus en $ a$, évalué en $ a+h$ :
$\displaystyle \tau_a(a+h)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle{\frac{\cos(a+h)-\cos(a)}{h}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle{
\frac{1}{h}\big( \cos(a)\cos(h)-\sin(a)\sin(h)-\cos(a) \big)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle{
\cos(a)\frac{\cos(h)-1}{h}-\sin(a)\frac{\sin(h)}{h}}\;.$  

On en déduit :

$\displaystyle \lim_{h\to 0} \tau_a(a+h)=-\sin(a)\;.
$

Les dérivées de sinus et cosinus sont elles mêmes dérivables, donc par récurrence ces deux fonctions sont indéfiniment dérivables. On calcule la dérivée de la fonction tangente comme un quotient :

$\displaystyle \tan'(x)=\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)'
=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}
=\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)\;.
$

$ \square$

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