Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $a$ un réel strictement positif, $x$ et $y$ deux réels quelconques. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $a^{x-y}=a^x/a^y$.
2. $\square\;$ $a^{(x^y)}=a^{xy}$.
3. $\square\;$ $a^{2xy}=a^{x^2} a^{y^2}$.
4. $\boxtimes\;$ $a^{(x+y)/2}=\sqrt{a^x a^y}$.
5. $\boxtimes\;$ $a^{-x+y/2}=\sqrt{a^y}/a^x$.
6. $\square\;$ $a^{2x-y}=(a^x/a^y)^2$.

Vrai-Faux 2   Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $\ln(\sqrt{a/b})=(1/2)(\ln(a)-\ln(b))$.
2. $\square\;$ $\ln((ab)/2)=\sqrt{\ln(a)\ln(b)}$.
3. $\square\;$ $\ln(a^b)=(\ln(a))^{\ln(b)}$.
4. $\boxtimes\;$ $\ln((a^2)^b)=2b\ln(a)$.
5. $\square\;$ $\ln(a^2/b^2)=-2\ln(ab)$.
6. $\boxtimes\;$ $\ln(a^2/b)=\ln(a)-\ln(b/a)$.

Vrai-Faux 3   Soit $a$ un réel strictement positif. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ $\ln(\mathrm{e}^{\sqrt{a}})=a/2$.
2. $\boxtimes\;$ $\ln(a^\mathrm{e})=\mathrm{e}\ln(a)$.
3. $\square\;$ $\mathrm{e}^{\ln^2(a)}=a^2$.
4. $\square\;$ $\mathrm{e}^{\ln(a/2)}=a-2$.
5. $\boxtimes\;$ $\ln(a^{\mathrm{e}+a})=(\mathrm{e}+a)\ln(a)$.
6. $\boxtimes\;$ $\mathrm{e}^{2\ln(a)-\ln(a)/2}=a^{3/2}$.

Vrai-Faux 4   Soit $x$ un réel quelconque. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $\sin(x-3\pi)=-\sin(x)$.
2. $\square\;$ $\sin(x+3\pi)=\sin(x)$.
3. $\boxtimes\;$ $\cos(3\pi-x)=-\cos(x)$.
4. $\boxtimes\;$ $\cos(-x-3\pi)=-\cos(x)$.
5. $\square\;$ $\sin(x+3\pi)=\sin(x)$.
6. $\boxtimes\;$ $\sin(x+3\pi/2)=-\cos(x)$.
7. $\square\;$ $\cos(x-3\pi/2)=\sin(x)$.
8. $\boxtimes\;$ $\cos(x+3\pi/2)=\sin(x)$.

Vrai-Faux 5   Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $\sin(-7\pi/2)=1$.
2. $\square\;$ $\sin(5\pi/4)=\sqrt{2}/{2}$.
3. $\square\;$ $\sin(8\pi/3)=-\sqrt{3}/{2}$.
4. $\boxtimes\;$ $\cos(9\pi/2)=0$.
5. $\square\;$ $\cos(-7\pi/3)=-1/2$.
6. $\boxtimes\;$ $\cos(-7\pi/4)=\sqrt{2}/2$.
7. $\boxtimes\;$ $\tan(-7\pi/3)=-\sqrt{3}$.
8. $\boxtimes\;$ $\tan(-7\pi/4)=1$.
9. $\square\;$ $\tan(-7\pi/6)=-\sqrt{3}/3$.

Vrai-Faux 6   Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ $${\lim_{x\to -\pi/2^-}\tan(x)=-\infty}$$.
2. $\square\;$ $${\lim_{x\to -\pi^+}\tan(x)=+\infty}$$.
3. $\boxtimes\;$ $${\lim_{x\to 5\pi/2^+}\tan(x)=-\infty}$$.
4. $\boxtimes\;$ $${\lim_{x\to -5\pi/2^+}\tan(x)=-\infty}$$.
5. $\square\;$ $${\lim_{x\to 7\pi/2^-}\tan(x)=-\infty}$$.

Vrai-Faux 7   Soit $x$ un réel quelconque. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $\cos(2x)=1-2\sin^2(x)$.
2. $\square\;$ $\cos(2x)-\sin(2x)=(\cos(x)+\sin(x))^2+2\sin^2(x)$.
3. $\boxtimes\;$ $${\tan(2x)=\frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}}$$.
4. $\square\;$ $${\cos(x)+\cos(3x)=2\sin(x)\sin(2x)}$$.
5. $\square\;$ $${\sin(x)+\sin(3x)=2\sin(x)\cos(2x)}$$.
6. $\boxtimes\;$ $${\sin(3x)-\sin(x)=2\sin(x)\cos(2x)}$$.

Vrai-Faux 8   Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ $\arccos(-1/2)=-\pi/3$.
2. $\boxtimes\;$ $\arccos(-\sqrt{2}/2)=3\pi/4$.
3. $\boxtimes\;$ $\arcsin(-1/2)=-\pi/6$.
4. $\square\;$ $\arcsin(\sqrt{3}/2)=2\pi/3$.
5. $\boxtimes\;$ $\arctan(-1)=-\pi/4$.
6. $\square\;$ $\arctan(-\sqrt{3})=-\pi/6$.

Vrai-Faux 9   Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $\forall x\in [-1,1]\;,\quad \sin(\arcsin(x))=x$.
2. $\square\;$ $\forall x\in [-\pi,\pi]\;,\quad \arcsin(\sin(x))=x$.
3. $\boxtimes\;$ $\forall x\in [-1,1]\;,\quad \cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}$.
4. $\boxtimes\;$ $\forall x\in [-1,1]\;,\quad \sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}$.
5. $\square\;$ $\forall x\in [-\pi/2,\pi/2]\;,\quad \arcsin(\cos(x))=\pi/2-x$.
6. $\boxtimes\;$ $\forall x\in [0,\pi/2]\;,\quad \arccos(\sin(x))=\pi/2-x$.
7. $\square\;$ $\forall x\in [-\pi/2,\pi/2]\;,\quad \arctan(\sin(x))= \displaystyle{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}$.
8. $\square\;$ $\forall x\in [-1,1]\;,\quad \tan(\arccos(x))= \displaystyle{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}$.
9. $\boxtimes\;$ $\forall x\in ]-\!1,1[\;,\quad \tan(\arcsin(x))= \displaystyle{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}$.

Vrai-Faux 10   Soit $x$ un réel quelconque. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $\sinh(x)<\cosh(x)$.
2. $\boxtimes\;$ $-1<\tanh(x)<1$.
3. $\square\;$ $\cosh(2x)=2\cosh(x)-1$.
4. $\boxtimes\;$ $\sinh(2x)=2\sinh(x)\cosh(x)$.
5. $\square\;$ $\sinh(x)+\cosh(-x)=\mathrm{e}^{-x}$.
6. $\boxtimes\;$ $\sinh(2x)+\cosh(2x)=\mathrm{e}^{2x}$.
7. $\boxtimes\;$ $${\tanh(2x)=\frac{2\tanh(x)}{1+\tanh^2(x)}}$$.
8. $\square\;$ $${\cosh(x)+\cosh(3x)=2\sinh(x)\sinh(2x)}$$.
9. $\boxtimes\;$ $${\sinh(x)+\sinh(3x)=2\sinh(2x)\cosh(2x)}$$.
10. $\square\;$ $${\sinh(3x)-\sinh(x)=2\cos(hx)\sinh(2x)}$$.

Vrai-Faux 11   Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ $\forall x\in\mathbb{R}\;,\quad \arg\!\cosh(\cosh(x))=x$.
2. $\boxtimes\;$ $\forall x\in\mathbb{R}\;,\quad \arg\!\sinh(\sinh(x))=x$.
3. $\boxtimes\;$ $\forall x\in\mathbb{R}\;,\quad \arg\!\tanh(\tanh(x))=x$.
4. $\boxtimes\;$ $\forall x\in\mathbb{R}^+\;,\quad \cosh(\arg\!\cosh(x))=x$.
5. $\square\;$ $\forall x\in\mathbb{R}\;,\quad \arg\!\cosh(\sinh(x))=1-x$.
6. $\square\;$ $\forall x\in \mathbb{R}\;,\quad \arg\!\tanh(\sinh(x))= \displaystyle{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$.
7. $\square\;$ $\forall x\in \mathbb{R}^+\;,\quad \tanh(\arg\!\cosh(x))= \displaystyle{\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}$.
8. $\boxtimes\;$ $\forall x\in \mathbb{R}\;,\quad \tanh(\arg\!\sinh(x))= \displaystyle{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$.