Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   On considère l'application $f$ de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$ qui à $(x,y,z)$ associe
$f(x,y,z)=\sin(xyz)$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ L'application $f$ est continûment différentiable sur $\mathbb{R}^3$.
2. $\square\;$ La différentielle de $f$ est une application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$.
3. $\square\;$ Le gradient de $f$ est une application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$.
4. $\boxtimes\;$ Le gradient de $f$ au point $(\frac{\pi}{2},0,0)$ est nul.
5. $\boxtimes\;$ Le gradient de $f$ au point $(\frac{\pi}{2},1,1)$ est nul.
6. $\square\;$ La matrice jacobienne de $f$ au point $(x,y,z)$ est une matrice réelle $3\times 3$.
7. $\boxtimes\;$ La matrice hessienne de $f$ au point $(x,y,z)$ est une matrice réelle $3\times 3$.
8. $\boxtimes\;$ La matrice hessienne de $f$ au point $(0,0,0)$ est la matrice nulle.
9. $\square\;$ La matrice hessienne de $f$ au point $(\frac{\pi}{2},0,0)$ est la matrice nulle.
10. $\square\;$ La matrice hessienne de $f$ au point $(\frac{\pi}{2},0,0)$ a toutes ses valeurs propres strictement négatives.
11. $\boxtimes\;$ La matrice hessienne de $f$ au point $(\frac{\pi}{2},0,0)$ a pour valeurs propres 0, $\frac{\pi}{2}$ et $-\frac{\pi}{2}$.
12. $\square\;$ Le point $(\frac{\pi}{2},0,0)$ est un maximum local de $f$.
13. $\boxtimes\;$ La matrice hessienne de $f$ au point $(\frac{\pi}{2},1,1)$ a tous ses coefficients strictement négatifs.
14. $\boxtimes\;$ La matrice hessienne de $f$ au point $(\frac{\pi}{2},1,1)$ a pour valeurs propres 0 et $-\frac{\pi^2}{2}-1$.
15. $\boxtimes\;$ $f$ atteint son maximum au point $(\frac{\pi}{2},1,1)$.

Vrai-Faux 2   Soit $f$ une application deux fois continûment différentiable de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ et $(a,b)$ un point de $\mathbb{R}^2$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si le gradient de $f$ au point $(a,b)$ est nul, alors $f$ atteint son maximum en $(a,b)$.
2. $\square\;$ Si le gradient de $f$ au point $(a,b)$ est nul, et si la matrice hessienne de $f$ en $(a,b)$ a deux valeurs propres strictement négatives, alors $f$ atteint son maximum en $(a,b)$.
3. $\boxtimes\;$ Si le gradient de $f$ au point $(a,b)$ est nul, et si sa matrice hessienne a deux valeurs propres strictement négatives, alors $(a,b)$ est un maximum local pour $f$.
4. $\square\;$ Si la matrice hessienne de $f$ au point $(a,b)$ a deux valeurs propres strictement positives alors $(a,b)$ est un minimum local pour $f$.
5. $\boxtimes\;$ Si la matrice hessienne de $f$ au point $(a,b)$ a un déterminant strictement négatif, alors $(a,b)$ est un point selle pour $f$.
6. $\square\;$ Si le gradient et la matrice hessienne de $f$ au point $(a,b)$ sont nuls, alors $(a,b)$ ne peut pas être un maximum local pour $f$.
7. $\square\;$ Si le gradient de $f$ est nul et si le déterminant de sa matrice hessienne au point $(a,b)$ est nul, alors $(a,b)$ ne peut pas être un maximum local pour $f$.
8. $\boxtimes\;$ Si le gradient de $f$ est nul, si le déterminant de la matrice hessienne de $f$ au point $(a,b)$ est strictement positif et sa trace négative, alors $(a,b)$ est un maximum local pour $f$.

Vrai-Faux 3   Soient $f$ et $g$ deux applications continûment différentiables de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$, $A=\{(x,y) ,\;g(x,y)=0\}$ et $(a,b)$ un point de $A$. On note $\nabla_f$ et $\nabla_g$ les gradients de $f$ et $g$ au point $(a,b)$, et on suppose que $\nabla_g$ est non nul. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si $\nabla_f=2\nabla_g$ alors $f$ atteint forcément son maximum au point $(a,b)$.
2. $\boxtimes\;$ Si $f$ atteint son maximum sur $A$ au point $(a,b)$, alors $\nabla_f$ et $\nabla_g$ sont proportionnels.
3. $\square\;$ Si $f$ atteint son maximum sur $\mathbb{R}^2$ au point $(a,b)$, alors $\nabla f$ peut être égal à $2\nabla_g$.
4. $\boxtimes\;$ Si $\nabla_f=2\nabla_g$, alors $(a,b)$ n'est pas un maximum local pour $f$ sur $\mathbb{R}^2$.
5. $\square\;$ Si $\nabla_f = 2\nabla g$, alors $f$ atteint au point $(a,b)$, soit son maximum sur $A$, soit son minimum sur $A$.

Vrai-Faux 4   Soient $f$ et $g$ les applications de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ définies par $f(x,y)=x^4+y^4-xy$ et $g(x,y)=x^2-y$. On note $A=\{(x,y) ,\;g(x,y)=0\}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si le gradient de $f$ au point $(a,b)$ est nul, alors $a=b=0$.
2. $\boxtimes\;$ Les points de $\mathbb{R}^2$ où le gradient de $f$ s'annule sont $(0,0)$, $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ et $(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$.
3. $\square\;$ Les trois points $(0,0)$, $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ et $(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ sont des minima locaux de $f$.
4. $\boxtimes\;$ Le point $(0,0)$ est un point selle.
5. $\square\;$ Les points $(0,0)$ et $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ sont des points de $A$.
6. $\square\;$ Le seul point de $A$ où la restriction de $f$ à $A$ peut atteindre son minimum est $(0,0)$.
7. $\square\;$ On ne peut pas savoir si la restriction de $f$ à $A$ atteint son minimum en $(0,0)$.
8. $\boxtimes\;$ Le point $(0,0)$ n'est pas un minimum pour la restriction de $f$ à $A$.
9. $\boxtimes\;$ La restriction de $f$ à $A$ atteint son minimum en un point dont l'abscisse est comprise entre $0.59$ et $0.6$.

Vrai-Faux 5   On considère l'application $\Phi$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ qui à $(x,y)$ associe
$\Phi(x,y)=(u,v)$, avec $u=x^2+y^2$, $v=x^2-y^2$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $\Phi$ est continûment différentiable sur $\mathbb{R}^2$.
2. $\boxtimes\;$ si $(u,v)=\Phi(x,y)$, alors $-u\leqslant v\leqslant u$.
3. $\square\;$ $\Phi$ est un difféomorphisme de $\mathbb{R}^2$ sur lui même.
4. $\square\;$ $\Phi$ est un difféomorphisme de $]0,+\infty[^2$ sur lui même.
5. $\boxtimes\;$ $\Phi$ est un difféomorphisme de $]0,+\infty[^2$ sur son image.
6. $\boxtimes\;$ $\Phi$ est un difféomorphisme de $]0,+\infty[^2$ sur $\{(u,v) ,\;-u<v<u\}$.
7. $\square\;$ $\Phi$ est un difféomorphisme de $]0,1[^2$ sur $\{(u,v) ,\;0<u+v<1 ,\;0<u-v<1\}$.
8. $\boxtimes\;$ $\Phi$ est un difféomorphisme de $]0,1[^2$ sur $\{(u,v) ,\;-u<v<u , \; u-2<v<2-u \}$.
9. $\boxtimes\;$ $\Phi$ est un difféomorphisme de $]\!-1\!,0[^2$ sur $\{(u,v) ,\;-\!u<v<u , \; u\!-\!2<v<2\!-\!u \}$.
10. $\boxtimes\;$ Si $D=\{(x,y) ,\;0<y<x ,\;x^2+y^2<1\}$, alors $\Phi$ est un difféomorphisme de $D$ sur son image $\Delta$.
11. $\square\;$ Si $D=\{(x,y) ,\;0<y<x ,\;x^2+y^2<1\}$, alors $\Phi(D)=D$.
12. $\boxtimes\;$ Si $D=\{(x,y) ,\;0<y<x ,\;x^2+y^2<1\}$, alors $\Phi(D)=\{(u,v) ,\;0<u<1 ,\;0<v<u\}$.
13. $\boxtimes\;$ La matrice jacobienne de $\Phi$ au point $(x,y)$ est inversible si et seulement si $x\neq 0$ et $y\neq 0$.
14. $\square\;$ Si $x>0$ et $y>0$, alors le déterminant jacobien de $\Phi$ au point $(x,y)$ est strictement positif.

Vrai-Faux 6   On considère l'application $\Phi$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ qui à $(x,y)$ associe
$\Phi(x,y)=(u,v)$, avec $u=x^2+y^2$, $v=x^2-y^2$. On pose $f(x,y)=\sin(x^4-y^4)$ et $g(u,v)=\sin(uv)$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ $MJ(f)(1,0)=MJ(g)(1,0) MJ(\Phi)(1,0)$.
2. $\boxtimes\;$ $MJ(f)(1,0)=MJ(g)(1,1) MJ(\Phi)(1,0)$.
3. $\square\;$ $MJ(g)(1,1)=MJ(f)(1,0) MJ(\Phi^{-1})(1,1)$.
4. $\square\;$ $${ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial u}+ \frac{\partial g}{\partial v} }$$.
5. $\boxtimes\;$ $${ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial u}\... ...al u}{\partial x}+ \frac{\partial g}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} }$$.
6. $\boxtimes\;$ $\Delta g(u,v)=-(u^2+v^2)\sin(uv)$.
7. $\square\;$ $\Delta f(x,y)=12(x^2-y^2)\cos(x^4-y^4)+16(x^6+y^6)\sin(x^4-y^4)$.

Vrai-Faux 7   On considère l'application $\Phi$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ qui à $(x,y)$ associe
$\Phi(x,y)=(u,v)$, avec $u=x^2+y^2$, $v=x^2-y^2$. On pose $D=\{(x,y) ,\;0<y<x ,\;x^2+y^2<1\}$ et $\Delta=\{(u,v) ,\;0<u<1 ,\;0<v<u\}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ $${\int_D \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_\Delta \mathrm{d}u\mathrm{d}v}$$.
2. $\boxtimes\;$ $${\int_D 8xy \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_\Delta \mathrm{d}u\mathrm{d}v}$$.
3. $\square\;$ $${\int_D xy \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{2}}$$.
4. $\boxtimes\;$ $${\int_D xy \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{16}}$$.
5. $\square\;$ $${\int_D x^3y \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_\Delta (u+v) \mathrm{d}u\mathrm{d}v}$$.
6. $\square\;$ $${ \int_D x^3y \mathrm{d}x\mathrm{d}y= \frac{1}{16}\int_0^1\left(\int_0^1 (u+v) \mathrm{d}u\right) \mathrm{d}v}$$.
7. $\boxtimes\;$ $${ \int_D x^3y \mathrm{d}x\mathrm{d}y= \frac{1}{16}\int_0^1\left(\int_0^u (u+v) \mathrm{d}v\right) \mathrm{d}u}$$.
8. $\boxtimes\;$ $${ \int_D x^3y \mathrm{d}x\mathrm{d}y= \frac{1}{16}\int_0^1\left(\int_v^1 (u+v) \mathrm{d}u\right) \mathrm{d}v}$$.
9. $\boxtimes\;$ $${ \int_D x^3y \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{32}}$$.
10. $\square\;$ $${ \int_D xy^3 \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{16}\int_\Delta (u+v) \mathrm{d}u\mathrm{d}v}$$.
11. $\square\;$ $${ \int_D xy^3 \mathrm{d}x\mathrm{d}y= \frac{1}{16}\int_0^1\left(\int_0^v (u-v) \mathrm{d}v\right) \mathrm{d}u}$$.
12. $\boxtimes\;$ $${ \int_D xy^3 \mathrm{d}x\mathrm{d}y= \frac{1}{16}\int_0^1\left(\int_0^u (u-v) \mathrm{d}v\right) \mathrm{d}u}$$.
13. $\boxtimes\;$ $${ \int_D xy^3 \mathrm{d}x\mathrm{d}y= \frac{1}{16}\int_0^1\left(\int_v^1 (u-v) \mathrm{d}u\right) \mathrm{d}v}$$.
14. $\boxtimes\;$ $${ \int_D xy^3 \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{96}}$$.

Vrai-Faux 8   On pose $D=\{(x,y) ,\;0<x<\frac{\pi}{4} ,\;0<y<\frac{\pi}{4}\}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ $${ \int_D \cos(xy) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \left(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos(x) \mathrm{d}x\right)^2 }$$.
2. $\boxtimes\;$ $${ \int_D \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \left(\int_0^{\frac{... ...athrm{d}x\right)^2- \left(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin(x) \mathrm{d}x\right)^2 }$$.
3. $\square\;$ $${ \int_D \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(\frac{\pi}{2}+y\right) \mathrm{d}y }$$.
4. $\square\;$ $${ \int_D \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos(y)+\sin(y)) \mathrm{d}y }$$.
5. $\boxtimes\;$ $${ \int_D \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos(y)-\sin(y)) \mathrm{d}y }$$.
6. $\square\;$ $${ \int_D \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \sqrt{2}+1 }$$.
7. $\boxtimes\;$ $${ \int_D \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \sqrt{2}-1 }$$.
8. $\boxtimes\;$ $${ \int_D \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\int_0^x \cos(x+y) \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}x }$$.

Vrai-Faux 9   On pose $D=\{(x,y) ,\;0<x<\frac{\pi}{4} ,\;0<y<x\}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $${ \int_D \sin(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y =\frac{\sqrt{2}-1}{2} }$$.
2. $\boxtimes\;$ $${ \int_D \sin(x) \mathrm{d}x\mathrm{d}y =\frac{\sqrt{2}}{8}(4-\pi) }$$.
3. $\square\;$ $${ \int_D \cos(x) \mathrm{d}x\mathrm{d}y =\frac{\sqrt{2}}{8}(4+\pi) }$$.
4. $\boxtimes\;$ $${ \int_D \sin(2x) \mathrm{d}x\mathrm{d}y =\frac{1}{4} }$$.
5. $\square\;$ $${ \int_D \cos(2x) \mathrm{d}x\mathrm{d}y =-\frac{1}{4} }$$.
6. $\boxtimes\;$ $${ \int_D \sin^2(x) \mathrm{d}x\mathrm{d}y =\frac{\pi^2}{64}-\frac{\pi}{16}+\frac{1}{8} }$$.
7. $\square\;$ $${ \int_D \cos^2(x) \mathrm{d}x\mathrm{d}y =\frac{\pi^2}{64}+\frac{\pi}{16}+\frac{1}{8} }$$.
8. $\boxtimes\;$ $${ \int_D 8xy\cos(x^2+y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y =2\cos(\pi^2/16)-\cos(\pi^2/8)-1 }$$.
9. $\square\;$ $${ \int_D 8xy\sin(x^2+y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y =2\sin(\pi^2/16)-\sin(\pi^2/8)-1 }$$.

Vrai-Faux 10   On pose $D=\{(x,y) ,\;x^2+y^2<1\}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ $${ \int_D (x^2+y^2)^{-1/2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pi }$$.
2. $\boxtimes\;$ $${ \int_D x \mathrm{d}x\mathrm{d}y=0 }$$.
3. $\square\;$ $${ \int_D (x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y=1 }$$.
4. $\boxtimes\;$ $${ \int_D (x+y)^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{\pi}{2} }$$.
5. $\square\;$ $${ \int_D \frac{(x+y)^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{\pi}{3} }$$.
6. $\boxtimes\;$ $${ \int_D (x+y)^2\sqrt{x^2+y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{2\pi}{5} }$$.
7. $\boxtimes\;$ $${ \int_D (x^2+y^2)\cos(x^2+y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pi(\cos(1)+\sin(1)-1) }$$.
8. $\square\;$ $${ \int_D (x+y)^2\cos(x^2+y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pi(\cos(1)+\sin(1)) }$$.