Exercices

Exercice 1   Soit $ \alpha$ un nombre complexe.
  1. Déterminer le rayon de convergence $ R$ (éventuellement infini) de la série entière $ \sum_{k=0}^\infty a_k z^k$$ a_0=1$ et $ a_{k+1}=\frac{\alpha-k}{k+1}a_k$ pour $ k\geqslant 0$ (on discutera suivant les valeurs de $ \alpha$). On note $ D_R$ le disque de convergence de cette série et, si $ z\in D_R$, on note

    $\displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k z^k.$

  2. On suppose dans cette question que $ \alpha\in\mathbb{N}$. Déterminer $ f$.
  3. Pour $ z\in D_R$, comparer $ (1+z)f'(z)$ et $ f(z)$.
  4. Pour $ z\in D_R\cap (\mathbb{C}\setminus\{x\in\mathbb{R} \vert x\leqslant -1\})$, comparer $ f(z)$ et $ g(z)= \exp(\alpha\log(1+z))$. Ici $ \log$ désigne la détermination principale du logarithme complexe.
  5. En déduire que $ f$ se prolonge de manière unique en une fonction analytique dans $ \mathbb{C}\setminus\{x\in\mathbb{R} \vert x\leqslant -1\}$. Calculer la valeur de cette fonction en $ z=-1+\mathrm{i}$ si $ \alpha = i$. Existe-t-il des valeurs de $ \alpha$ ( $ \alpha\notin\mathbb{N}$) pour lesquelles $ f$ se prolonge en une fonction analytique dans $ \mathbb{C}\setminus\{-1\}$ ?

Exercice 2   Pour chacun des couples $ (\gamma,f)$ suivants, calculer $ \displaystyle{\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z}$.
  1. \begin{displaymath}\displaystyle{
\begin{array}{rcl}
&\gamma& [0.1ex]
[0,\pi]&...
...ghtarrow&\mathbb{C}\\
z&
\longmapsto& \frac{1}{z}
\end{array}}\end{displaymath}
  2. \begin{displaymath}\displaystyle{
\begin{array}{rcl}
&\gamma& [0.1ex]
[0,1]&\l...
...&\longrightarrow&\mathbb{C}\\
z&
\longmapsto& z^2
\end{array}}\end{displaymath}
  3. \begin{displaymath}\displaystyle{
\begin{array}{rcl}
&\gamma& [0.1ex]
\mathbb{...
...b{C}\\
z&
\longmapsto& \mathrm{e}^{-\vert z\vert}
\end{array}}\end{displaymath}
  4. \begin{displaymath}\displaystyle{
\begin{array}{rcl}
&\gamma& [0.1ex]
\mathbb{...
...rrow&\mathbb{C}\\
z&
\longmapsto& \mathrm{e}^{-z}
\end{array}}\end{displaymath}

Exercice 3   Pour chacun des chemins fermés suivants :

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
&\gamma& [0.1ex]
[0,2\pi]&\longrightarr...
...thbb{C}\\
t&
\longmapsto& \mathrm{e}^{\mathrm{i}t}
\end{array}\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
&\gamma& [0.1ex]
[0,4]&\longrightarrow...
...x{si}&3\leqslant t\leqslant 4\\
\end{array}\right.
\end{array}\end{displaymath}

  1. Décrire l'image $ \Gamma$ de $ \gamma$.
  2. Donner les valeurs de $ \mathrm{Ind}_\gamma(z)$, pour tout $ z\in\mathbb{C}\setminus\Gamma$.
  3. Pour chacune des fonctions suivantes :

    $\displaystyle f :\; \omega\longmapsto \frac{1}{\omega-\frac{1+\mathrm{i}}{2}}
...
...
\;;\quad
f :\; \omega\longmapsto \frac{1}{(\omega-\frac{1+\mathrm{i}}{2})^2}
$

    Calculer $ \displaystyle{\int_\gamma f(\omega) \mathrm{d}\omega}$

Exercice 4   Soit $ \gamma$ un chemin fermé dans $ \mathbb{C}$ de classe $ \mathcal {C}^1$ par morceaux. Soient $ a$ et $ b$ deux points distincts de $ \mathbb{C}$ non situés sur l'image de $ \gamma$.
  1. Calculer l'intégrale $ \int_\gamma \frac{\mathrm{d}z}{(z-a)(z-b)}$ en fonction de l'indice de $ \gamma$ par rapport à $ a$ et par rapport à $ b$.
  2. Que peut-on dire de la valeur de l'intégrale lorsqu'il existe un chemin $ \delta$ passant par $ a$ et $ b$ et ne rencontrant pas $ \gamma$ ?
  3. En déduire la valeur de l'intégrale $ \int_\gamma
\frac{\mathrm{d}z}{(z-a)^2}$.
  4. Calculer directement l'intégrale $ \int_\gamma
\frac{\mathrm{d}z}{(z-a)^2}$.

Exercice 5   On désigne par $ \log$ la détermination principale du logarithme. On rappelle que sa restriction à $ \mathbb{R}^*_+$ coïncide avec le logarithme népérien que l'on notera également $ \log$. On considère l'intégrale

$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\cos \theta) d\theta.$

  1. Montrer que l'intégrale $ I$ est bien définie.
  2. Montrer que la fonction $ \frac{\log z}{z-1}$ est holomorphe sur $ \mathbb{C}\setminus]-\infty,0]$.
  3. Soit $ \Gamma_\varepsilon$ le chemin fermé contenu dans le demi-plan $ P=\{z\in\mathbb{C} \vert \mathrm{Re} z>0\}$ qui borde le disque de centre $ 1$ et de rayon $ 1$ privé du disque de centre 0 et de rayon $ \varepsilon$. Calculer

    $\displaystyle \int_{\Gamma_\varepsilon} \frac{\log z}{z-1} \mathrm{d}z.$

  4. On note $ \gamma_\varepsilon$ la partie du chemin $ \Gamma_\varepsilon$ contenue dans le cercle de centre 0 et de rayon $ \varepsilon$. Montrer que $ \lim_{\varepsilon\to 0} \int_{\gamma_\varepsilon}
\frac{\log z}{z-1} \mathrm{d}z=0.$
  5. Soit $ \mathcal{C}_\alpha$ le chemin défini par $ z=1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$ pour $ t\in
[-\pi+\alpha,\pi-\alpha]$. Calculer $ \vert 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi-\alpha)}\vert$. En déduire que $ \lim_{\alpha\to 0}\int_{\mathcal{C}_\alpha} \frac{\log z}{z-1} \mathrm{d}z$ existe et donner sa valeur.
  6. Déduire de ce qui précède la valeur de l'intégrale $ I$.

Exercice 6  

Soit $ R$ un réel strictement positif et

$\displaystyle S(R)=\{z\in\mathbb{C} \vert z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta},  0\leqslant r\leqslant R, 
0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{4}\}$

le secteur de centre 0, de rayon $ R$ et d'angle $ \frac{\pi}{4}$, on note $ \gamma(R)$ le chemin fermé de classe $ \mathcal {C}^1$ par morceaux défini par le bord orienté du secteur $ S(R)$.

En intégrant la fonction $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}z^2}$ sur le chemin $ \gamma(R)$ montrer que

$\displaystyle \int_0^\infty \cos x^2 dx= \lim_{R\to \infty}\int_0^R \cos x^2
 dx$

et que

$\displaystyle \int_0^\infty \sin x^2 dx= \lim_{R\to \infty}\int_0^R \sin x^2
 dx$

existent et calculer leurs valeurs.

Exercice 7  

Soient $ P$ un polynôme de degré $ n$ :

$\displaystyle P(w)= a_0 w^n+a_1 w^{n-1}+\dots +a_n, a_0\neq 0,$

et $ L$ l'opérateur linéaire à coefficients constants reproduisant ceux de $ P$. On considère l'équation différentielle :

$\displaystyle Lu= a_0 u^{(n)}+a_1 u^{(n-1) }+\dots +a_n u=0.$

Soient $ D$ un ouvert de $ \mathbb{C}$ et $ \gamma$ un chemin fermé de classe $ \mathcal {C}^1$ par morceaux contenu dans $ D$, dont l'image $ \Gamma$ ne contient aucun zéro de $ P$.

  1. Soit $ f$ une fonction holomorphe sur $ D$. Montrer que $ u(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_\gamma \frac{f(w)}{P(w)} \mathrm{e}^{wz} \mathrm{d}w$ est une fonction entière et exprimer $ Lu$ à l'aide d'une intégrale le long de $ \gamma$.

    Calculer $ Lu$

    (i)
    si $ D$ est étoilé;
    (ii)
    si $ f$ est la restriction à $ D$ d'une fonction entière;
    (iii)
    si l'indice de $ \gamma$ par rapport à tout point $ z$ du complémentaire de $ D$ dans $ \mathbb{C}$ est nul.
  2. Soit $ w_0\in\mathbb{C}\setminus\Gamma$ et $ p$ un entier supérieur ou égal à $ 1$. Calculer

    $\displaystyle u_k(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_\gamma \frac{\mathrm{e}^{wz}}{(w-w_0)^k} \mathrm{d}w, $pour$\displaystyle  k=1,2,\dots,p.$

    On suppose que $ w_0$ est un zéro d'ordre $ p$ de $ P$. Montrer que l'on obtient ainsi $ p$ solutions de l'équation différentielle $ Lu=0$ en appliquant la question 1 à des fonctions $ f$ que l'on précisera.

Exercice 8   Étant donné $ \alpha\in]0,\pi[$, on note $ \gamma_\alpha$ le chemin $ [-\alpha,\alpha]\to\mathbb{C}$ défini par $ \gamma_\alpha(\theta)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$. Soit $ \varphi_\alpha$ la fonction définie sur le complémentaire de l'image $ \Gamma_\alpha$ de $ \gamma_\alpha$ par

$\displaystyle \varphi_\alpha(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma_\alpha}\frac{w}{w-z} \mathrm{d}w.$

  1. Montrer que $ \varphi_\alpha$ est holomorphe sur $ \mathbb{C}\setminus\Gamma_\alpha$.
  2. Ècrire
    1. le développement de Laurent de $ \varphi_\alpha(z)$ pour $ \vert z\vert>1$,
    2. le développement de Taylor en 0 de $ \varphi_\alpha(z)$ pour $ \vert z\vert<1$,
  3. Déterminer $ \lim_{\alpha\to\pi} \varphi_\alpha(z)$ et montrer que cette limite est uniforme sur tout compact qui ne rencontre pas le cecle $ \vert z\vert=1$. En déduire $ \lim_{\alpha\to\pi} \varphi'_\alpha(z)$ pour $ \vert z\vert\neq 1$. Cette limite est-elle uniforme sur tout compact qui ne rencontre pas le cercle $ \vert z\vert=1$ ?
  4. Soient $ \gamma'_\alpha$ et $ \gamma''_\alpha$ deux arcs de cercle du demi-plan $ \{\mathrm{Re}z\geqslant\cos\alpha\}$, d'origine $ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}$ et d'extrémité $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$, le premier tracé dans $ \{z\in\mathbb{C} \vert \vert z\vert\geqslant
1\}$ et le second dans $ \{z\in\mathbb{C} \vert \vert z\vert\leqslant
1\}$.

    % latex2html id marker 27255
\includegraphics[width=8cm]{exodemiplan}
    1. Comparer $ \varphi_\alpha(z)$ et $ \frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma'_\alpha}\frac{w}{w-z} \mathrm{d}w$ pour $ \vert z\vert<1$ ;
      comparer $ \varphi_\alpha(z)$ et $ \frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma''_\alpha}\frac{w}{w-z} \mathrm{d}w$ pour $ \vert z\vert>1$.

    2. En déduire l'existence de $ \lim_{z\to 1, \vert z\vert<1}
\varphi_\alpha(z)$ et $ \lim_{z\to 1, \vert z\vert>1}
\varphi_\alpha(z)$ et trouver leur différence.
  5. Écrire $ \varphi''_\alpha(z)$ sous la forme d'une intégrale. Montrer que $ \varphi''_\alpha$ se prolonge à $ \mathbb{C}$ en une fraction rationnelle. Quels sont ses pôles ? Expliciter le calcul pour $ \alpha=\frac{\pi}{2}$.

    En déduire le rayon de convergence du développement de Taylor de $ \varphi_\alpha$ en un point $ z_0\notin \Gamma_\alpha$ et en particulier le rayon de convergence du développement obtenu au 1.b.

Exercice 9   Soit $ f$ une fonction holomorphe dans le disque épointé $ D^*(0,1) =D(0,1) \setminus\{0\}$ de centre 0 et de rayon $ 1$. On suppose que $ f$ n'a pas de zéros dans $ D^*(0,1)$.
  1.  
    1. Donner un exemple d'une fonction de ce type telle que $ \frac{f'}{f}$ ait un pôle simple en 0.
    2. Donner un autre exemple tel que $ \frac{f'}{f}$ ait un pôle multiple d'ordre $ m>1$ en 0 et tel que $ f$ ait un point singulier essentiel en 0.
  2. Soit $ N\in\mathbb{Z}$ un entier relatif non nul. Montrer qu'il n'existe pas de fonction holomorphe $ h$ dans $ D^*(0,1)$ telle que $ z^N= \mathrm{e}^h$ dans $ D^*(0,1)$.
  3. On considère la fonction holomorphe $ \frac{f'}{f}$ sur $ D^*(0,1)$ et son développement de Laurent dans $ D^*(0,1)$ :

    $\displaystyle \frac{f'}{f}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_nz^n.$

    1. Montrer que $ a_{-1}$ est un entier relatif.
    2. Montrer qu'il existe un entier $ N$ et une fonction $ g$ holomorphe dans $ D^*(0,1)$ tels que

      $\displaystyle f=z^N\mathrm{e}^g$

      dans $ D^*(0,1)$ et que cette factorisation est unique à un multiple entier de $ 2\mathrm{i}\pi$ près pour $ g$.
  4. Discuter la nature de la singularité de $ \frac{f'}{f}$ en 0 en fonction de la nature de la singularité de $ g$ en 0 et de l'entier $ N$.

Exercice 10  

On considère un ouvert connexe $ D$ de $ \mathbb{C}$ et une fonction $ g$ holomorphe sur $ \Delta =D\setminus \{a_1,a_2,\cdots,a_n
\}$. On cherche les fonctions $ F$ qui vérifient les conditions suivantes :

(*) $ F$ holomorphe sur $ \Delta$ et pour tout $ z\in \Delta \quad $ $ F'(z)-g(z)F(z)=0$.

  1. $ \Delta$ est-il connexe? (On pourra utiliser la connexité par arcs).

  2. Soit $ F$ une solution de (*).
    1. Montrer que si $ F$ admet un zéro dans $ \Delta$ alors $ F$ est identiquement nulle dans $ \Delta$.
    2. Soit $ F_0$ une solution non identiquement nulle. Montrer que toutes les solutions de $ E$ sont de la forme $ \lambda F_0$ $ \lambda\in\mathbb{C}$.
  3. On suppose que $ g$ admet une primitive sur $ \Delta$. Montrer que (*) admet une solution de la forme $ F(z)=\mathrm{e}^{G(z)}$.

    Trouver explicitement toutes les solutions de (*) si $ g(z)=\frac{1}{z^{2} }$ et $ \Delta =\mathbb{C}\setminus \{0 \}.$ Quel type de singularité les solutions présentent-elles en 0?

  4. Soit $ \varphi$ une fonction holomorphe sur $ D$ ayant comme zéros dans $ D$ l'ensemble $ \{a_1,a_2,\cdots,a_n \}$. On suppose que $ g=\frac{\varphi '}{\varphi }$. Donner la forme des solutions de (*).

    En déduire les solutions de (*) dans le cas où $ g(z)=\frac{m}{z-a}$ $ m\in \mathbb{Z} $, $ a\in\mathbb{C}$ et $ \Delta =\mathbb{C}\setminus \{a \}$.

  5. On suppose maintenant que $ D$ est un disque de $ \mathbb{C}$ et $ \mathrm{Res}(g,a_k)=m_k\in \mathbb{Z}$ pour $ 1\leqslant k\leqslant n$. On considère la fonction

    $\displaystyle h(z)=g(z) -\sum_1^n \frac{m_k}{z- a_k}.$

    Montrer que $ h$ possède une primitive dans $ \Delta$.

    En déduire la fome générale des solutions de (*).

Exercice 11   Soient $ f$ et $ g$ deux fonctions holomorphes dans $ \mathbb{C}$ tout entier telles que $ \vert f\vert\leqslant \vert g\vert$.

Montrer qu'il existe une constante $ C$ telle que

$\displaystyle f=Cg.$

Exercice 12   On note $ \Delta$ le disque unité de $ \mathbb{C}$. Soit $ f$ une fonction holomorphe sur un ouvert contenant le disque unité fermé $ \overline{\Delta}$ telle que, pour tout $ z\in \partial\Delta$, $ \vert f(z)\vert\geqslant 2$ et qui vérifie $ f(0)=1$.

La fonction $ f$ s'annule-t-elle dans $ \Delta$ ?

Exercice 13    
  1. Soit $ U$ un ouvert borné de $ \mathbb{C}$ et $ f$ une fonction holomorphe sur $ U$. Supposons qu'il existe une constante $ M$ telle que pour tout point $ z_0$ de la frontière de $ U$,

    $\displaystyle \mathop{\lim\sup}_{z\to z_0} \vert f(z)\vert\leqslant M\;.
$

    Montrer que $ \vert f(z)\vert\leqslant M$ pour tout $ z\in U$.

Exercice 14   Soit $ f$ une fonction holomorphe sur le disque $ D(0,R)$ de centre 0 et de rayon $ R>0$ de $ \mathbb{C}$. On suppose que $ f$ possède un zéro d'ordre $ k$ à l'origine et que $ \vert f\vert$ est majoré par une contante $ M$ sur $ D(0,R)$.
  1. Montrer que pour tout $ z\in D(0,R)$, $ f$ vérifie

    $\displaystyle \vert f\vert\leqslant M\vert\frac{z}{R}\vert^k.$

  2. Que peut-on dire s'il y a égalité en un point $ z_0\in D(0,R)$ dans l'inégalité précédente ?

Exercice 15  

Soit $ \Omega$ un ouvert connexe borné de $ \mathbb{C}$, $ h$ une fonction holomorphe dans $ \Omega$, continue sur $ \overline{\Omega}$, non constante, et telle que $ \vert h\vert$ est constant sur la frontière de $ \Omega$.

  1. Montrer que $ h$ admet au moins un zéro dans $ \Omega$
  2. Soit $ f$ une fonction holomorphe sur $ D(0,1)$ (disque de centre 0 de rayon 1) continue sur $ \overline{D(0,1) }$ et de module constant sur le cercle $ C(0,1) $. Montrer avec soin que $ f$ soit est constante, soit $ f$ admet une factorisation de la forme

    $\displaystyle f(z)=(z-\alpha_1)^{m_1}\ldots (z-\alpha_p)^{m_p}g(z)$

    $ p\geqslant 1$, $ \alpha_1,\ldots,\alpha_p\in D(0,1) $, $ m_i>0$ et $ g$ est holomorphe et sans zéros dans $ D$.
  3. On suppose désormais $ f$ non constante.
    1. Soit $ a\in D(0,1)$, et $ \phi_a=\frac{z-a}{1-\bar a z}$. Montrer que $ \vert\phi_a(z)\vert=1$ si $ \vert z\vert=1$.
    2. Soit $ h(z)=f(z)\prod_{i=1}^p \phi_{\alpha_i}(z)^{-m_i}$. Montrer que $ h$ définit une fonction holomorphe sur $ D(0,1)$ satisfaisant $ \vert h(z)\vert=\textrm{Cste}$ si $ \vert z\vert=1$.
    3. En déduire $ f$.

Exercice 16   Si $ f$ est une fonction holomorphe non constante dans un ouvert $ U$ de $ \mathbb{C}$ contenant le disque fermé $ \overline{D}(0,R)=\{z\in\mathbb{C} \vert \vert z\vert\leqslant R\}$, on rappelle l'inégalité de Borel-Carathéodory

$\displaystyle M(r)\leqslant \frac{2r}{R-r}A(R)+\frac{R+r}{R-r}\vert f(0)\vert,$

$ 0<r<R$, $ M(r)=\sup_{\vert z\vert=r}\vert f(z)\vert$ et $ A(R)=\sup_{\vert z\vert\leqslant R} \mathrm{Re} f(z)$.

Soit $ w$ un nombre complexe fixé. On définit la fonction $ f$ par $ f(z)=z\mathrm{e}^{-z}-w$ pour $ z\in\mathbb{C}$. On suppose que $ f$ ne s'annule pas dans $ \mathbb{C}$.

  1. Montrer que $ \frac{f'}{f}$ est une fonction entière.
  2. En déduire qu'il existe une fonction entière $ g$ telle que $ z\mathrm{e}^{-z}-w=\mathrm{e}^{g(z)}$ pour tout $ z\in\mathbb{C}$.
  3. Montrer qu'il existe un nombre $ R_0>0$ tel que pour tout $ z$ tel que $ \vert z\vert\geqslant R_0$, la fonction $ g$ vérifie la majoration $ \mathrm{Re} g(z)\leqslant 2\vert z\vert$.
  4. En déduire qu'il existe des constantes $ C_1$ et $ C_2$ strictement positives telles que :

    $\displaystyle \vert g(z)\vert\leqslant C_1\vert z\vert+C_2$   pour$\displaystyle \vert z\vert\geqslant R_0.$

  5. Montrer que $ g$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $ 1$ :

    $\displaystyle g(z)=a_0z+a_1.$

  6. Montrer que l'égalité

    $\displaystyle z\mathrm{e}^{-z}-w=\mathrm{e}^{a_0z+a_1}$   pour tout$\displaystyle z\in\mathbb{C}$

    est impossible. Conclure.

Exercice 17   Soient $ \Omega$ et $ \Omega'$ deux ouverts connexes de $ \mathbb{C}$ et $ f : \Omega\to\Omega'$ une application holomorphe telle que pour tout compact $ K$ de $ \Omega'$, $ f^{-1}(K)$ soit un compact de $ \Omega$. On dira dans ce cas que $ f$ est propre.
  1. Montrer par un raisonnement purement topologique simple que $ f$ est une application fermée, c'est-à-dire si $ F$ est un fermé de l'ouvert $ \Omega$, $ f(F)$ est fermé dans $ \Omega'$.
  2. Montrer que $ f$ est surjective, i.e. $ f(\Omega)=\Omega'$.
  3. En considérant l'application $ f : \mathbb{C}\to\mathbb{C}$ définie par un polynôme non constant, en déduire une nouvelle démonstration du théorème de d'Alembert.

Exercice 18   On pose

$\displaystyle f(z)=-1+2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^2}\mathrm{e}^{-nz}.$

  1. Montrer qu'on définit ainsi une fonction analytique sur le demi-plan $ P=\{z=x+\mathrm{i}y \vert x>0\}$, continue et bornée sur $ \overline{P}$. La fonction $ f$ admet-elle une période, et laquelle ?
  2. Montrer que $ f$ est solution sur $ P$ de l'équation différentielle linéaire

    $\displaystyle (1) \qquad\qquad w''+w=\tanh(\frac{z}{2}).$

    Que peut-on dire de la différence de deux solutions de (1) ? Al'aide de la fonction $ f$ et de fonctions élémentaires, donner la solution générale de l'équation (1) pour $ z\in P$. Quelles sont les solutions de période $ 2\mathrm{i}\pi$ ? Quelles sont les solutions bornées sur $ P$ ?
  3. Déterminer les pôles de la fonction $ z\mapsto\tanh(\frac{z}{2})$, puis le plus grand ouvert $ U$, étoilé par rapport à 0 et ne contenant aucun de ces pôles.

    Soient $ u$ et $ v$ deux fonctions analytiques sur $ U$ telles que

    $\displaystyle u'(z)=-\tanh(\frac{z}{2})\sin z$   et$\displaystyle \quad
v'(z)=\tanh(\frac{z}{2})\cos z.$

    Dire avec précision pourquoi il existe de telles fonctions et montrer que $ z\mapsto u(z)\cos z+v(z)\sin z$ est solution de (1) pour $ z\in U$.
  4. En comparant les résultats des questions 2 et 3, montrer que $ f$ se prolonge en une fonction analytique sur $ U$, encore notée $ f$. On a évidemment $ f(0)=-1+2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^2}$. Montrer qu'on a aussi

    $\displaystyle f'(0)=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nn}{1+n^2}.$

    (On pourra appliquer la transformation d'Abel

    $\displaystyle a_nb_n+\dots+a_{n+p}b_{n+p}=\sum_{q=1}^p(a_n+\dots+a_{n+q-1})(b_{n+q-1}-b_{n+q})+(a_n+\dots+a_{n+p})b_{n+p}$

    avec $ a_n=\frac{(-1)^nn}{1+n^2}$ et $ b_n=\mathrm{e}^{-nx}$.)

Exercice 19   Pour tout entier $ n>0$ et tout $ z\in\Omega =\mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}$ on pose

$\displaystyle S_n(z)= \sum_{k=-n}^{k=n}\frac{1}{(z-k)^{2}}.$

  1. Montrer que la suite $ S_n$ converge uniformément sur tout compact de $ \Omega$. En déduire que $ g(z)=\lim_{n\to
+\infty}S_n(z)$ définit une fonction holomorphe sur $ \Omega$. £
  2. On considère la fonction $ \varphi$ définie sur $ \Omega$ par $ \displaystyle{\varphi (z)=\left(\frac{\pi}{\sin(\pi z)}\right)^{2}-g(z)}$.

    Montrer que $ \varphi$ est 1-périodique (i.e. vérifie $ \varphi (z+1) =\varphi (z)$ pour tout $ z\in \Omega$).

  3. Montrer que $ \displaystyle{\left(\frac{\pi}{\sin(\pi
z)}\right)^{2} -\frac{1}{z^{2}}} $ admet une limite quand $ z$ tend vers 0 et en déduire que $ \varphi$ se prolonge en une fonction holomorphe 1-périodique sur $ \mathbb{C}$.
  4. On pose $ z=x+\mathrm{i}y$ ($ x$ et $ y$ réels). Calculer $ \vert\sin(z)\vert^{2}$ et montrer que si $ \vert y\vert>1$ et $ \vert x\vert\leqslant \frac{1}{2}$ on a

    $\displaystyle \left\vert\varphi (z)\right\vert \leqslant \left(\frac{\pi}{sh(\pi)}\right)^{2}
+1 +2 \sum_1^{+\infty} \frac{1}{(n-1/2)^{2} }.$

  5. Montrer que $ \varphi$ est bornée sur $ \mathbb{C}$. Calculer $ \lim_{y\to +\infty}g(iy)$ et $ \lim_{y\to
+\infty}\vert\sin(\pi i y)\vert$. En déduire que pour tout $ z\in \Omega$ on a :

    $\displaystyle g(z)=\left(\frac{\pi}{\sin(\pi z)}\right)^{2}.$

Exercice 20   Pour tout couple de réels $ 0\leqslant a <b$, on note $ B(a,b)$ la bande $ \{z\in \mathbb{C}\; ; \; a<\mathrm{Im}z <b \}$. Si $ T$ est un réel non nul, on dit qu'une fonction $ f$ holomorphe sur $ B(a,b)$ est $ T$-périodique si, pour tout $ z\in
B(a,b)$ on a $ f(z+T)=f(z)$. On note aussi $ B(0,+\infty)$ le demi-plan supérieur $ \{z\in \mathbb{C}\; ;\;
\mathrm{Im}(z)>0 \}$.

A) Un cas particulier

  1. Démontrer que la série

    $\displaystyle \sum_0^{+\infty}
(-1)^{n}\mathrm{e}^{(2n+1)\mathrm{i}z} $

    définit une fonction holomorphe sur $ B(0,+\infty)$.
  2. Montrer que $ \frac{1}{\cos z}$ est holomorphe sur $ B(0,+\infty)$ et périodique de période $ 2\pi$.
  3. Etablir que pour tout $ z\in B(0,+\infty)$ on a

    $\displaystyle \frac{1}{\cos z}= 2 \sum_0^{+\infty} (-1)^{n}\mathrm{e}^{(2n+1)\mathrm{i}z}.$

B) Généralisation

  1. Montrer que l'application $ \varphi$ définie sur $ \mathbb{C}$ par

    $\displaystyle \varphi (z)= \exp\left(\frac{2\pi \mathrm{i}z}{T}\right)$

    définit une application holomorphe de $ B(a,b)$ sur la couronne $ A(r,R)$ de centre 0 et de rayons $ r=\exp\left(-\frac{2\pi }{T}b\right)$ et $ R=\exp\left(-\frac{2\pi }{T}a\right).$

  2. Si $ f$ est holomorphe et périodique de période $ T$ sur $ B(a,b)$ pour tout $ u\in
B(a,b)$ on pose $ g(\varphi (u))=f(u)$. Montrer que l'on définit ainsi une fonction holomorphe sur $ A(r,R)$.
  3. En utilisant le développement en série de Laurent de $ g$, en déduire que $ f$ s'écrit de façon unique sous la forme

    $\displaystyle f(z)= \sum_{-\infty }^{+\infty} a_n \exp\left(\frac{2\pi n \mathrm{i} z}{T}\right)$ (8)

    où les $ a_i$ sont des complexes tels que les séries entières $ \sum_{n\geqslant 0}a_nz^{n}$et $ \sum_{n\geqslant 0}a_{-n}z^{n}$ ont des rayons de convergence supérieurs ou égaux à $ \exp\left(-\frac{2\pi
}{T}a\right)$ et $ \exp\left(-\frac{2\pi }{T}b\right)$ respectivement.
  4. Montrer que réciproquement si une suite $ (a_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ satisfait ces conditions alors (8) définit une fonction holomorphe périodique de période $ T$ sur la bande $ B(a,r)$.

Exercice 21    
  1. Montrer que l'intégrale $ g(z)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin
t}{z+t} \mathrm{d}t$ est convergente pour $ z$ dans $ \mathbb{C}$ privé de l'ensemble des réels négatifs ou nuls et définit une fonction holomorphe sur cet ensemble. (On pourra effectuer une intégration par parties).
  2. Pour $ x>0$ fixé, montrer en intégrant la fonction $ f(z)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}}{x+z}$ sur un quart de cercle de rayon $ R$ bien choisi et en faisant tendre $ R$ vers $ +\infty$ que :

    $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}}{x+t} \mathrm{d}t=\mathrm{i}\int_0^{+\infty}
\frac{\mathrm{e}^{-t}}{x+\mathrm{i}t} \mathrm{d}t.$

  3. En déduire que pour $ \mathrm{Re} z>0$, on a :

    $\displaystyle g(z)=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-uz}}{1+u^2} \mathrm{d}u.$

Exercice 22   Soit la fonction d'une variable complexe $ z$ définie par

$\displaystyle f(z)=\int_1^\infty \frac{t-1}{t^2(t-z)} \mathrm{d}t.$

  1. Dans quel ouvert $ D$ du plan complexe $ f$ est-elle définie ?
  2. Montrer que $ f$ est holomorphe sur D. Calculer, en fonction de $ n$, la dérivée $ n$-ième de $ f$ en 0 et déterminer le développement en série entière de $ f$ au voisinage de 0 ; dans quel ouvert ce développement est-il valable ?
  3. Soit $ x$ un réel strictement inférieur à $ 1$, calculer $ f(x)$. En déduire la valeur de $ f(z)$ pour $ z\in D$.
  4. Calculer $ f(z)+f(\frac{z}{z-1})$ pour $ z\in D$.

Exercice 23    
  1. Déterminer les singularités de la fonction de la variable complexe $ z$ :

    $\displaystyle f(z)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}tz}}{(z^2+1)^2},$

    $ t$ est un réel fixé. Calculer les résidus de $ f$ aux points singuliers.
  2. Calculer par la méthode des résidus

    $\displaystyle F(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}}{(x^2+1)^2} dx,$

    $ t$ est un nombre réel.
  3. Soit $ G(z)=z^3\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}}{(x^2+z)^2} dx,$.
    1. Dans quel ouvert $ D$ de $ \mathbb{C}$ la fonction $ G$ est-elle définie ? Montrer que $ G$ est holomorphe sur $ D$.
    2. Montrer que $ F(t)=G(z)$ pour $ z=t\in\mathbb{R}_+^*$.
    3. En déduire la valeur de $ G(z)$ pour $ z\in D$.

Exercice 24   On rappelle que les racines de $ \sin z= 0$ sont réelles. Soit $ f$ la fonction méromorphe définie par

$\displaystyle f(z)=\frac{\pi \cot \pi z}{(z^{2}+1) ^{2} }.$

  1. Déterminer les points singuliers de $ f$.
  2. Calculer le résidu de $ f$ en chacun de ses pôles.
  3. Pour tout entier naturel $ N$, soit $ \Gamma _N$ le bord orienté positivement du carré de sommets $ (N+\frac{1}{2})(1+\mathrm{i}),
(N+\frac{1}{2})(-1+\mathrm{i}),(N+\frac{1}{2})(-1-\mathrm{i})$ et $ (N+\frac{1}{2})(1-\mathrm{i})$.

    Montrer que si $ Im(z)\geqslant \frac{1}{2}$ on a $ \vert\cot(\pi z)\vert\leqslant
\coth \frac{\pi }{2}$ et que si $ \vert Im(z)\vert< \frac{1}{2}$, alors pour tout $ k\in\mathbb{Z}$

    $\displaystyle \left\vert\cot\left(\pi (\frac{2k +1}{2} + \mathrm{i}y )\right)\right\vert\leqslant \tanh \left(\frac{\pi }{2}\right).$

    En déduire la limite quand $ N$ tend vers l'infini de

    $\displaystyle \int_{\Gamma _N}f(z)\mathrm{d}z.$

  4. Calculer la somme de la série

    $\displaystyle \sum_0^{+\infty} \frac{1}{(n^{2}+1)^{2} }.$

Exercice 25   On note $ \alpha =(1+\mathrm{i})\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ et

$\displaystyle g(z) = \frac{\mathrm{e}^{-z^{2} }}{1+ \exp(-2\alpha z)}.$

  1. Montrer que $ g$ est méromorphe sur $ \mathbb{C}$ et n'a que des pôles simples que l'on déterminera.
  2. Soit $ \Delta$ l'ensemble des pôles de $ g$. Si $ z\not \in
\Delta $ montrer que $ g(z)-g(z+\alpha )=\mathrm{e}^{-z^2}.$
  3. En intégrant $ g$ le long du parallélogramme de sommets $ R, R+\alpha , -R + \alpha $ et $ -R$, en déduire la valeur de l'intégrale

    $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^{2} }  dx.$

Exercice 26   Soit $ F=P/Q$ une fraction rationnelle sans pôle réel telle que $ \deg(Q)\geqslant \deg(P)+2$. Montrer que $ x\mapsto F(x) \ln(\vert x\vert)$ est intégrable sur $ \mathbb{R}$.

On note $ \log$ la détermination principale du logarithme sur $ \mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}^{-}$ (sa partie imaginaire appartient à $ ]-\pi/2, 3\pi/2[$).

  1. Soit $ r$ un réel strictement positif, pour $ t\in [0,\pi]$ on pose $ \gamma_r(t)= r\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$. Montrer que les limites suivantes existent et les calculer :

    $\displaystyle \lim_{r\to 0}\int_{\gamma _r }F(z)\log (z) \mathrm{d}z,$   et$\displaystyle \quad
\lim_{r\to +\infty} \int_{\gamma _r }F(z)\log (z) \mathrm{d}z.$

  2. En déduire que

    $\displaystyle \int_{\mathbb{R} } F(x) \ln(\vert x\vert) dx = -2\pi   \mathrm{Im}m\left(\sum_{a_i} \mathrm{Res}(F(z)\log(z), a_i )\right)$

    où les $ a_i$ sont les pôles de $ F$ dont la partie imaginaire est strictement positive.
  3. Application : calculer

    $\displaystyle \int_{\mathbb{R} }\frac{\ln\vert x\vert}{(x^{2}+1)^{2} }  \mathrm{d}x.$

Exercice 27   Soient $ a$ et $ b$ deux réels strictement positifs. On considère la fonction qui à $ z$ associe :

$\displaystyle f(z) = \frac{1}{(z^2+a^2)(z^2+b^2)}\;.
$

  1. Montrer que la fonction $ f$ est méromorphe, calculer ses 4 pôles, et donner le résidu de $ f$ en chacun de ces pôles.
  2. Soit $ R$ un réel positif. On note $ \gamma$ le chemin qui à $ t\in [0,\pi]$ associe $ R\mathrm{e}^{\mathrm{i}
t}$. Démontrer que

    $\displaystyle \lim_{R\to+\infty}\int_{\gamma} f(z) \mathrm{d}z=0 \;.
$

  3. On suppose $ R>\max\{a,b\}$. En appliquant le théorème des résidus, calculer

    $\displaystyle \int_{-R}^{+R} f(x) \mathrm{d}x+\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z\;.
$

  4. Déduire de ce qui précède que

    $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x =
\frac{\pi}{ab(a+b)}\;.
$

Exercice 28   On considère la fonction qui à $ z$ associe :

$\displaystyle f(z) = \frac{1}{1+z^4}\;.
$

  1. Montrer que la fonction $ f$ est méromorphe, calculer ses 4 pôles, et donner le résidu de $ f$ en chacun de ces pôles.
  2. Soit $ R$ un réel positif. On note $ \gamma$ le chemin qui à $ t\in [0,\pi]$ associe $ R\mathrm{e}^{\mathrm{i}
t}$. Démontrer que

    $\displaystyle \lim_{R\to+\infty}\int_{\gamma} f(z) \mathrm{d}z=0 \;.
$

  3. On suppose $ R>1$. En appliquant le théorème des résidus, calculer

    $\displaystyle \int_{-R}^{+R} f(x) \mathrm{d}x+\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z\;.
$

  4. Déduire de ce qui précède que

    $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x =
\frac{\pi\sqrt{2}}{4}\;.
$

Exercice 29   Soit $ w$ un nombre complexe.
  1. Montrer que si $ \vert w\vert<\frac{1}{e}$, la fonction $ f$ définie sur $ \mathbb{C}$ par $ f(z)=z\mathrm{e}^{-z}-w$ a un zéro unique dans le disque unité. On désigne par $ h(w)$ cet unique zéro de $ f$; la fonction $ h$ est donc définie pour $ \vert w\vert<\frac{1}{e}$.
  2. Montrer que si $ \gamma$ désigne le cercle unité orienté positivement, on a :

    $\displaystyle (1)\qquad\qquad h(w)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_\gamma\frac{z(1-z)\mathrm{e}^{-z}}{z\mathrm{e}^{-z}-w} \mathrm{d}z.$

  3. En déduire que pour $ \vert w\vert<\frac{1}{e}$, on a $ h(w)=w+\frac{2w^2}{2!}+\dots+\frac{n^{n-1}}{n!}w^n+\dots$
  4. Montrer que pour $ \alpha\in\mathbb{C}$, on a $ \mathrm{e}^{\alpha h(w)}=1+\sum_{n=1}^\infty\frac{\alpha(\alpha+n)^{n-1}}{n!}
w^n$ pour $ \vert w\vert<\frac{1}{\mathrm{e}}$. On utilisera une intégrale analogue à (1).
  5. Étudier les variations de la fonction $ x\mapsto x\mathrm{e}^{-x}$ pour $ x$ réel positif ou nul.

    Montrer que la série de fonctions de la variable réelle $ x$

    $\displaystyle S(x)=1+\sum_{n=1}^\infty\frac{\alpha(\alpha+n)^{n-1}}{n!}x^n\mathrm{e}^{-nx}$

    converge normalement pour $ x\geqslant 0$. Montrer que $ S(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}$ pour $ 0\leqslant x\leqslant 1$ et que $ S(x)=\mathrm{e}^{\alpha x'}$ pour $ x\geqslant 1$, où $ x'$ est la solution appartenant à $ [0,1]$ de l'équation : $ x'\mathrm{e}^{-x'}=x\mathrm{e}^{-x}$.

Exercice 30   Soit $ \lambda\in\mathbb{C}$ tel que $ \mathrm{Re}\lambda>1$. Montrer que l'équation $ z+\mathrm{e}^{-z}-\lambda=0$ a exactement une solution dans le demi-plan $ \mathrm{Re}z\geqslant 0$. On pourra considérer un demi disque de centre 0 et de rayon $ R$ assez grand.

Exercice 31  

Soit $ D$ un ouvert connexe borné de $ \mathbb{C}$, contenant l'origine et $ f$ une application holomorphe de $ D$ dans lui-même telle que $ f(0)=0$. On va montrer que $ f$ est un automorphisme de $ D$ si et seulement si $ \vert f'(0)\vert=1$.

  1. Montrer qu'il existe des constantes $ M_p$, $ p\in\mathbb{N}$, telles que pour toute fonction $ g$ holomorphe dans $ D$ vérifiant $ g(D)\subset D$, on ait :

    $\displaystyle \vert g^{(p)}(0)\vert\leqslant M_p.$

  2. Soit $ f$ une fonction holomorphe dans $ D$ vérifiant $ f(D)\subset D$ et $ f(0)=0$.
    1. On définit les fonctions $ f_n$ par $ f_1=f$ et la relation de récurrence $ f_{n+1}=f\circ f_n$ si $ n\geqslant 1$. Montrer que $ f_n$ est holomorphe dans $ D$ et calculer $ f_n'(0)$ en fonction de $ f'(0)$.
    2. En déduire que $ \vert f'(0)\vert\leqslant 1$.
    3. Montrer que, si $ f$ est un automorphisme de $ D$, $ \vert f'(0)\vert=1$.
  3. Montrer que, si $ f'(0)=1$, $ f(z)=z$ pour tout $ z\in D$. (On raisonnera par l'absurde en supposant que le développement de $ f$ en série entière à l'origine s'écrit :

    $\displaystyle f(z)=z+\sum_{k=p}^{+\infty} c_kz^k,$

    $ p$ étant un entier strictement supérieur à $ 1$, et on calculera le coefficient de $ z^p$ dans le développement de $ f_n$.)
  4. On suppose qu'il existe $ k\in\mathbb{N}$, $ k\neq 0$, tel que $ f'(0)^k=1$. Montrer que $ f$ est un automorphisme de $ D$.
  5. On munit l'espace $ \mathcal{H}(D)$ des fonctions holomorphes dans $ D$ de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de $ D$.
    1. Montrer que l'ensemble des fonctions fonctions $ g$ holomorphes dans $ D$ vérifiant $ g(D)\subset D$ et $ g(0)=0$ est une partie compacte de $ \mathcal{H}(D)$.

    2. On suppose que $ f'(0)=\lambda$, $ \vert\lambda\vert=1$ et que l'ensemble $ \{\lambda^k, k\in\mathbb{N}\}$ est dense l'ensemble $ \{z\in\mathbb{C} \vert \vert z\vert=1\}$. Montrer qu'il existe une sous-suite de la suite $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ qui converge uniformément sur tout compact de $ D$ vers l'identité de $ D$.
  6. Montrer que pour toute suite $ (g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de fonctions holomorphes sur $ D$ qui converge vers une fonction $ g$ uniformément sur tout compact de $ D$, si $ g$ prend la valeur $ w$ et n'est pas la fonction constante égale à $ w$, alors pour $ n$ assez grand la fonction $ g_n$ prend la valeur $ w$.
  7. On rappelle que tout sous-groupe multiplicatif du groupe des nombres complexes de module $ 1$ est fini ou dense.

    Déduire de ce qui précède que, si $ \vert f'(0)\vert=1$, $ f$ est une application injective et surjective de $ D$ sur lui-même.

Exercice 32   Calculer le développement en série de Laurent de $ f$ en $ a$ dans les cas suivants.
  1. $ f(z)=\mathrm{e}^{\frac{1}{z}}$ en $ a=0$
  2. $ f(z)=\frac{z-\sin(z)}{z^3}$ en $ a=0$
  3. $ f(z)=(z-3)\sin\left(\frac{1}{z+2}\right)$ en $ a=-2$


         © UJF Grenoble, 2011                              Mentions légales