Familles génératrices

D'après le théorème 3, un sous-espace vectoriel contient toutes les combinaisons linéaires d'un nombre quelconque de vecteurs : pour tout entier $n$, pour tous vecteurs $v_1,\ldots,v_n$ de $E$, et pour tous réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$,

$$\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_n v_n =\sum_{i=1}^n\lambda_i v_i\in E\;.$$

Une des manières de fabriquer un sous-espace vectoriel est de partir d'une famille d'éléments, puis de lui adjoindre toutes les combinaisons linéaires de ces éléments. Une famille d'éléments de $E$ est définie comme une application d'un ensemble d'indices $I$, à valeurs dans $E$.

$${\cal V} = \big( v_i ,\;i\in I \big)$$

Définition 4   Soit $E$ un espace vectoriel et ${\cal V}$ une famille de vecteurs de $E$. On appelle sous-espace engendré par ${\cal V}$ l'ensemble des combinaisons linéaires de sous-familles finies quelconques d'éléments de ${\cal V}$.

On dit que ${\cal V}$ est une famille génératrice pour $E$ si le sous-espace engendré par ${\cal V}$ est $E$ lui-même.

L'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de ${\cal V}$ est un espace vectoriel, d'après le théorème 3. Le même théorème implique aussi que tout espace vectoriel contenant ${\cal V}$ doit contenir toutes les combinaisons linéaires de ses éléments. Donc le sous-espace engendré par ${\cal V}$ est inclus dans tout sous-espace contenant ${\cal V}$. Voici quelques exemples de familles avec les espaces qu'elles engendrent.

Complexes
Famille	Espace engendré
$\big( \mathrm{i} \big)$	$\{ z\in\mathbb{C} ,\;$Re$(z)=0 \}$
$\big( \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4} \big)$	$\{ z\in\mathbb{C} ,\;$Re$(z)=$Im$(z) \}$
$\big( 1,\mathrm{i} \big)$	$\mathbb{C}$

Couples de réels
Famille	Espace engendré
$\big( (0,1) \big)$	$\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\; x=0 \}$
$\big( (1,1) \big)$	$\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,x=y \}$
$\big( (0,1),(1,1) \big)$	$\mathbb{R}^2$

Matrices
Famille	Espace engendré
$\left( \left(\begin{array}{cc}0&0 0&0\end{array}\right) \right)$	$\left\{ \left(\begin{array}{cc}0&0 0&0\end{array}\right) \right\}$
$\left( \left(\begin{array}{cc}1&0 0&1\end{array}\right) \right)$	$\left\{ \left(\begin{array}{cc}\lambda&0 0&\lambda\end{array}\right) ,\; \lambda\in\mathbb{R} \right\}$
$\left( \left(\begin{array}{rr}1&-1 0&0\end{array}\right) , \left(\begin{array}{rr}0&0 1&-1\end{array}\right) \right)$	$\left\{ A\in{\cal M}_{2,2}(\mathbb{R}) ,\; A\binom{1}{1}=\binom{0}{0} \right\}$

Suites de réels
Famille	Espace engendré
$\big( (2^n) \big)$	$\{ (u_n) ,\;\forall n ,\;u_{n+1}=2u_n \}$
$\big( (u_n) ,\;\exists n_0 ,\;\forall n\neq n_0 ,\; u_n=0 \big)$	$\{ (u_n) ,\;\exists n_0 ,\;\forall n\geqslant n_0 ,\; u_n=0 \}$
$\big( (u_n) ,\;\forall n ,\;u_n\in[0,1] \big)$	$\{ (u_n) ,\;\exists M ,\;\vert u_n\vert\leqslant M \}$

Polynômes
Famille	Espace engendré
$\big( X \big)$	$\{ \lambda X ,\;\lambda\in\mathbb{R} \big\}$
$\big( 1+X,1-X \big)$	$\{ P\in\mathbb{R}[X] ,\;$deg$(P)\leqslant 1 \}$
$\big( P\in\mathbb{R}[X] ,\;P(1)=1 \big)$	$\mathbb{R}[X]$

Fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$
Famille	Espace engendré
$\big( \cos \big)$	$\{ \lambda \cos ,\;\lambda\in\mathbb{R} \}$
$\big( \cos,\sin \big)$	$\{ \lambda\cos+\mu\sin ,\;\lambda,\mu\in\mathbb{R} \}$
$\big( f ,\;f(0)=1 \big)$	$\mathbb{R}^\mathbb{R}$

Notre définition de la somme de deux sous-espaces utilise la notion de sous-espace engendré.

Définition 5   Soient $E$ un espace vectoriel, $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On appelle somme de $F$ et $G$, et on note $F+G$, l'espace engendré par la famille des vecteurs de $F\cup G$.

Si $F\cap G=\{0\}$, on dit que la somme est directe, et on la note $F\oplus G$.

Si $F\oplus G=E$, on dit que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$.

La justification du terme «somme»  et l'intérêt de cette notion résident dans la proposition suivante.

Proposition 4   Soient $E$ un espace vectoriel, $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.

1. $F+G = \{ v+w ,\;v\in F ,\;w\in G \}$.
2. Si $F\cap G=\{0\}$, alors pour tout vecteur $u$ dans $F\oplus G$ il existe un unique couple de vecteurs $(v,w)$, tels que $v\in F$, $w\in G$ et $u=v+w$.

La figure 1 illustre la notion de somme directe.

Figure 1: Somme directe d'espaces vectoriels et décomposition d'un vecteur de la somme.

Démonstration : Tout vecteur de la forme $v+w$, où $v\in F$ et $w\in G$, appartient à l'espace engendré par $F\cup G$. Réciproquement l'espace engendré par $F\cup G$ est formé des combinaisons linéaires d'un nombre quelconque d'éléments de $F\cup G$. Mais une telle combinaison linéaire peut s'écrire comme la somme de deux combinaisons linéaires : l'une ne contient que des éléments de $F$, et appartient donc à $F$, l'autre ne contient que des éléments de $G$, et appartient donc à $G$.

Dans le cas où la somme est directe, l'existence de la décomposition $u=v+w$ est démontrée par ce qui précède. Nous devons prouver l'unicité. Supposons $u=v_1+w_1=v_2+w_2$, avec $v_1,v_2\in F$ et $w_1,w_2\in G$. Les deux vecteurs $v_1-v_2$ et $w_2-w_1$ sont égaux, donc ils appartiennent à la fois à $F$ et à $G$. Par hypothèse, $F\cap G=\{0\}$, donc $v_1=v_2$ et $w_1=w_2$. $\square$ Dans l'espace vectoriel $\mathbb{R}[X]$ des polynômes, considérons les deux familles suivantes :

$${\cal V} = \big( X^{2k} ,\;k\in\mathbb{N} \big)$$   et$$\quad {\cal W} = \big( X^{2k+1} ,\;k\in\mathbb{N} \big)$$

Ce sont respectivement les familles des monômes de degrés pairs, et des monômes de degré impair. Soient $F$ et $G$ les espaces vectoriels engendrés respectivement par ${\cal V}$ et ${\cal W}$. L'espace vectoriel $F$ contient tous les polynômes constitués uniquement de monômes de degrés pairs : par exemple, $1+3X^2-2X^4$. L'espace vectoriel $G$ contient le polynôme nul, et tous les polynômes constitués uniquement de monômes de degrés impairs : par exemple, $X+2X^3-X^5$. L'intersection de $F$ et $G$ est réduite au polynôme nul. De plus, tout polynôme de $\mathbb{R}[X]$ s'écrit (de façon unique) comme somme d'un élément de $F$ et d'un élément de $G$. Par exemple :

$$1+X+3X^2+2X^3-2X^4-X^5 = \big(1+3X^2-2X^4\big)+\big(X+2X^3-X^5\big)$$

Les sous-espaces $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}[X]$.