QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   L'ensemble $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}$.

$E=\big\{ z\in\mathbb{C} ,\;\vert z\vert=1 \big\}$.

$E=\big\{ z\in\mathbb{C} ,\;\vert z\vert=0 \big\}$.

$E=\big\{ z\in\mathbb{C} ,\;$Re$(z)=0 \big\}$.

$E=\big\{ z\in\mathbb{C} ,\;$Im$(z)=1 \big\}$.

$E=\big\{ z\in\mathbb{C} ,\;\mathrm{i}z+1=0 \big\}$.

Question 2   L'ensemble $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$.

$E=\big\{ P\in\mathbb{R}[X] ,\;P(X)P(-X)=P(X^2) \big\}$.

$E=\big\{ P\in\mathbb{R}[X] ,\;P'(X)=X^2 \big\}$.

$E=\big\{ P\in\mathbb{R}[X] ,\;P(X)=P(1-X) \big\}$.

$E=\big\{ P\in\mathbb{R}[X] ,\;P(X)=X(1-P'(X)) \big\}$.

$E=\big\{ P\in\mathbb{R}[X] ,\;P(X)=P(X^2) \big\}$.

Question 3   La famille ${\cal V}$ est une famille génératrice de $\mathbb{R}[X]$.

${\cal V}=\big( (X-1)^n ,\;n\in\mathbb{N} \big)$.

${\cal V}=\big( (X-n) ,\;n\in\mathbb{N} \big)$.

${\cal V}=\big( (X-m)^n ,\;(m,n)\in\mathbb{N}^2 \big)$.

${\cal V}=\big( X^{2n} ,\;n\in\mathbb{N} \big)$.

${\cal V}=\big( (X-1)^{2n} ,\;n\in\mathbb{N} \big)$.

Question 4   La famille ${\cal V}$ est une famille libre dans $\mathbb{R}^\mathbb{R}$.

${\cal V}=\big( x\mapsto x^2 , x\mapsto x , x\mapsto \mathrm{e}^{x} , x\mapsto \mathrm{e}^{x^2} \big)$.

${\cal V}=\big( x\mapsto \sin(x) , x\mapsto \sin(3x) , x\mapsto \sin^3(x) \big)$.

${\cal V}=\big( x\mapsto \sin(x) , x\mapsto \sin(2x) , x\mapsto \sin^2(x) \big)$.

${\cal V}=\big( x\mapsto 1 , x\mapsto \mathrm{e}^x , x\mapsto \mathrm{e}^{2x} , x\mapsto (1+\mathrm{e}^{x})^2 \big)$.

${\cal V}=\big( x\mapsto 1 , x\mapsto \cos(x) , x\mapsto \cos(2x),x\mapsto (1+\cos(x)^2) \big)$.

Question 5   Les espaces vectoriels $E$ et $F$ sont tels que $F\oplus G=\mathbb{C}$

$E=\big\{ z\in\mathbb{C} ,\;$Re$(z)=$Im$(z) \big\}$ et $F=\big\{ z\in\mathbb{C} ,\;z=x\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4} x\in\mathbb{R} \big\}$.

$E=\big\{ z\in\mathbb{C} ,\;$Re$(z)=0 \big\}$ et $F=\big\{ z\in\mathbb{C} ,\;z=x\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4} x\in\mathbb{R} \big\}$.

$E=\big\{ z\in\mathbb{C} ,\; \vert z\vert=0 \big\}$ et $F=\big\{ z\in\mathbb{C} ,\;z=x\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4} x\in\mathbb{R} \big\}$.

$E=\big\{ z\in\mathbb{C} ,\;$Re$(z)=-$Im$(z) \big\}$ et $F=\big\{ z\in\mathbb{C} ,\;z=x\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4} x\in\mathbb{R} \big\}$.

$E=\big\{ z\in\mathbb{C} ,\;$Re$(z)\in\mathbb{R} \big\}$ et $F=\big\{ z\in\mathbb{C} ,\;z=x\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4} x\in\mathbb{R} \big\}$.

Question 6   Le sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$ engendré par la famille ${\cal V}$ est de dimension $3$.

${\cal V}=\big( 1 , X , X^2 , X^3 \big)$.

${\cal V}=\big( X , X^2 , X^3 , X(1+X)^2 \big)$.

${\cal V}=\big( X , X^2 , X^3 , X(1+X)^3 \big)$.

${\cal V}=\big( (1+X) , X^2 , X^3 , X^2(1+X) \big)$.

${\cal V}=\big( X^2 , X^3 , X^2(1+X) \big)$.

Question 7   L'application $f$, de $\mathbb{R}[X]$ dans $\mathbb{R}$ est linéaire.

$f : P(X)\mapsto P(0)P'(1)$.

$f : P(X)\mapsto P(0)+P'(1)$.

$f : P(X)\mapsto$   deg$(P)$.

$f : P(X)\mapsto (P(0)+P'(1))^2$.

$f : P(X)\mapsto P(0)+P'(2)+2P''(3)$.

Question 8   On considère l'application linéaire $f$, de ${\cal M}_{2,2}(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ qui à une matrice $2\times 2$ associe sa trace (somme des deux éléments diagonaux).

$f$ est injective.

La matrice identité est élément de Ker$(f)$.

$f$ est surjective.

Im$(f)$ est un espace vectoriel de dimension $3$.

Ker$(f)$ est un espace vectoriel de dimension $3$.

Question 9   On considère les deux sous-espaces vectoriels $E$ et $F$ de $\mathbb{R}_2[X]$ définis comme suit.

$$F=\big\{ bX+cX^2 ,\;(b,c)\in\mathbb{R}^2 \big\}$$   et$$\quad G=\big\{ a+aX ,\;a\in\mathbb{R} \big\}$$

On admettra que $F\oplus G=\mathbb{R}_2[X]$. On note $p$ la projection sur $F$ parallèlement à $G$ et $s$ la symétrie par rapport à $F$, parallèlement à $G$.

$p(1+2X+X^2)=2X+X^2$.

$s(1+2X+X^2)=-1+X^2$.

$s(1-X)=-1+X$

$p(1+X^2)=-1-2X+X^2$.

$p(1-X)=0$.

Question 10   On considère l'équation de récurrence linéaire d'ordre $2$ suivante.

$$({\cal E})\qquad\qquad u_{n+2}=2u_{n+1}-2u_n\;.$$

L'ensemble des suites à valeurs réelles solutions de $({\cal E})$ est un espace vectoriel de dimension $2$ sur $\mathbb{R}$.

$({\cal E})$ admet des solutions non nulles qui sont des suites périodiques.

$({\cal E})$ admet des solutions non nulles qui sont des suites convergentes.

$({\cal E})$ admet pour solution la suite $\big($Re$((1+\mathrm{i})^{2n})\big)_{n\in\mathbb{N}}\;.$

$({\cal E})$ admet des solutions non nulles qui sont des suites à valeurs entières.