Corrigé du devoir

Questions de cours : 

1. Le développement limité de $x\mapsto 1/(1-x)$ à l'ordre $n$ en 0 est :
   $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n)\;.$$

2. Par composition avec $x\mapsto -x$, on obtient :
   $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots +(-1)^nx^n+o(x^{n})\;.$$

3. La primitive de $x\mapsto 1/(1+x)$ nulle en 0 est $\ln(1+x)$ :
   $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots +\frac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1})\;.$$

4. Par composition de $x\mapsto 1/(1+x)$ avec $x\mapsto x^2$, on obtient :
   $$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4+\cdots +(-1)^nx^{2n}+o(x^{2n})\;.$$

5. La primitive de $x\mapsto 1/(1+x^2)$ nulle en 0 est $\arctan(x)$ :
   $$\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots +\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+1})\;.$$

Exercice 1 :

1. On connaît le développement de $x\mapsto (1+x)^\alpha$ à l'ordre $n$ en 0 :
   $$(1+x)^\alpha = \displaystyle{\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 +\cdots +\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^n+o(x^{n})}\;.$$
   Pour $\alpha=-1/2$ et $n=3$, la formule donne :
   $$\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac{x}{2}+\frac{3x^2}{8}- \frac{5x^3}{16}+o(x^3)\;.$$

2. En composant par $x\mapsto -x^2$ dans le développement précédent :
   $$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=1+\frac{x^2}{2}+\frac{3x^4}{8}+ \frac{5x^6}{16}+o(x^6)\;.$$

3. La fonction $x\mapsto \arcsin(x)$ est la primitive de $x\mapsto 1/\sqrt{1-x^2}$, nulle en 0. Il suffit de prendre la primitive du développement précédent, avec un terme constant nul.
   $$\arcsin(x)=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+ \frac{5x^7}{112}+o(x^7)\;.$$

4. En multipliant par $x$ celui de la question 2 :
   $$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=x+\frac{x^3}{2}+\frac{3x^5}{8}+ \frac{5x^7}{16}+o(x^7)\;.$$

5. Il s'agit de composer le développement de tangente, donné en fonction de $a,b,c,d$, avec celui de la question 3. On ne calcule pas les termes de degrés supérieurs à $7$.
   

   $$\tan(\arcsin(x)) = a\left(x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+ \frac{5x^7}{112}\right)+b\left(x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}\right)^3$$

   $$\hspace*{2cm} +c\left(x+\frac{x^3}{6}\right)^5+d\big(x\big)^7+o(x^7)$$

   $$= ax+\left(\frac{a}{6}+b\right)x^3+ \left(\frac{3a}{40}+\frac{b}{2}+c\right)x^5+$$

   $$\hspace*{2cm} \left(\frac{5a}{112}+\frac{37 b}{120}+\frac{5c}{6}+d\right)x^7+o(x^7)\;.$$

   
   
6. Par unicité du développement limité, les coefficients des polynômes de Taylor écrits aux questions 4 et 5 doivent être les mêmes. On obtient :
   $$\left\{\begin{array}{lcl} a&=&1 [2ex] \displaystyle{\frac{a}{6}... ...7 b}{120}+\frac{5c}{6}+d}&=& \displaystyle{\frac{5}{16}}\;. \end{array}\right.$$
   On en tire successivement :
   $$\left\{\begin{array}{lcl} a&=&1 [2ex] b&=&\displaystyle{\frac{1... ...frac{5}{112}-\frac{37}{360} -\frac{1}{9}=\frac{17}{315}}\;. \end{array}\right.$$

7. On utilise le développement de $x\mapsto 1/(1-x)$ à l'ordre $3$ :
   $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)\;,$$
   que l'on compose avec $x\mapsto -x^2$.
   $$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+o(x^6)\;.$$

8. La fonction $x\mapsto \arctan(x)$ est la primitive de $x\mapsto 1/(1+x^2)$, nulle en 0. Il suffit de prendre la primitive du développement précédent, avec un terme constant nul.
   $$\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+o(x^7)\;,$$

9. Par composition :
   

   $$\tan(\arctan(x)) = \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}\right) +\frac{1}{3}\left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\right)^3$$

   $$\hspace*{2cm} +\frac{2}{15}\left(x-\frac{x^3}{3}\right)^5 +\frac{17}{315}\big(x\big)^7+o(x^7)$$

   $$= x+\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)x^3+ \left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+\frac{2}{15}\right)x^5+$$

   $$\hspace*{2cm} \left(-\frac{1}{7}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{17}{315}\right)x^7+o(x^7)$$

   $$= x+o(x^7)\;.$$

   
   

Exercice 2 : 

1. Le développement limité à l'ordre $2$ en 0 de $x\mapsto \mathrm{e}^x$ est :
   $$\mathrm{e}^x= 1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\;.$$
   Par composition, on en déduit :
   $$\mathrm{e}^{3x}= 1+3x+\frac{9x^2}{2}+o(x^2)\;,$$
   et :
   $$\mathrm{e}^{2x}= 1+2x+2x^2+o(x^2)\;.$$
   Le développement limité à l'ordre $2$ en 0 de $x\mapsto \sin(x)$ est :
   $$\sin(x)= x+o(x^2)\;.$$
   Par combinaison linéaire :
   $$\mathrm{e}^{3x}-\mathrm{e}^{2x}-\sin(x)=\frac{5x^2}{2}+o(x^2)\;.$$

2. Par application de la formule donnant le développement limité de $x\mapsto (1+x)^\alpha$, on obtient pour $\alpha=1/2$ :
   $$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+o(x^2)\;.$$
   Par composition on en déduit :
   $$\sqrt{1+3x}=1+\frac{3x}{2}-\frac{9x^2}{8}+o(x^2)\;,$$
   et
   $$\sqrt{1+2x}=1+x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\;.$$
   Par combinaison linéaire, on en déduit :
   $$\sqrt{1+3x}-\sqrt{1+2x}-x/2 = -\frac{5x^2}{8}+o(x^2)\;.$$

3. Le quotient des développements limités des deux questions précédentes donne :
   $$\frac{\mathrm{e}^{3x}-\mathrm{e}^{2x}-\sin(x)} {\sqrt{1+3x}-\sqrt... ...-\tan(x/2)}= \frac{\frac{5}{2}x^2+o(x^2)}{-\frac{5}{8}x^2+o(x^2)} = -4+o(1)\;.$$
   Donc :
   $$\lim_{x\to 0} \frac{\mathrm{e}^{3x}-\mathrm{e}^{2x}-\sin(x)} {\sqrt{1+3x}-\sqrt{1+2x}-x/2}=-4\;.$$

Exercice 3 : 

1. Les développements limités à l'ordre $5$ des fonctions $\sin$, $\sinh$, $\arcsin$, $\arg\!\sinh$ sont les suivants.
   

   $$\sin(x) = x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)$$

   $$\sinh(x) = x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)$$

   $$\arcsin(x) = x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+o(x^5)$$

   $$\arg\!\sinh(x) = x-\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+o(x^5)$$

   
   D'où :
   $$\arcsin(x)-\sinh(x)=x^5\left(\frac{3}{40}-\frac{1}{120}\right)+o(x^5) =\frac{x^5}{15}+o(x^5)\;,$$
   et
   $$\arg\!\sinh(x)-\sin(x)=x^5\left(\frac{3}{40}-\frac{1}{120}\right)+o(x^5) =\frac{x^5}{15}+o(x^5)\;.$$

2. Du développement à l'ordre $1$ de $x\mapsto \mathrm{e}^x$, on déduit :
   $$\mathrm{e}^{u(x)}=1+u(x)+o(u(x))\;,$$
   donc :
   $$\lim_{x\to 0} \frac{\mathrm{e}^{u(x)}-1}{u(x)}=\lim_{x\to 0} 1+\frac{o(u(x))}{u(x)}=1\;.$$
   Ce résultat s'applique aussi à $v(x)$, et aussi à $u(x)-v(x)$. Donc :
   $$\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^{u(x)}-\mathrm{e}^{v(x)}}{u(x)-v(x)} =\lim_{x\to 0} \mathrm{e}^{v(x)}\frac{\mathrm{e}^{u(x)-v(x)}}{u(x)-v(x)}=1\;.$$

3. Si on applique le résultat précédent à $u(x)=\arcsin(x)$ et $v(x)=\sinh(x)$, on obtient :
   $$\Big(\mathrm{e}^{\arcsin(x)}-\mathrm{e}^{\sinh(x)}\Big) \sim \Big(\arcsin(x)-\sinh(x)\Big) \sim \frac{x^5}{15}\;.$$
   De même :
   $$\Big(\mathrm{e}^{\arg\!\sinh(x)}-\mathrm{e}^{\sin(x)}\Big) \sim \Big(\arg\!\sinh(x)-\sin(x)\Big) \sim \frac{x^5}{15}\;.$$
   Par quotient des deux équivalents :
   $$\lim_{x\to 0} \frac{\mathrm{e}^{\arcsin(x)}-\mathrm{e}^{\sinh(x)}} {\mathrm{e}^{\arg\!\sinh(x)}-\mathrm{e}^{\sin(x)}}=1\;.$$