QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $ E$ un espace vectoriel.
\framebox{A}
Si un sous-ensemble de $ E$ contient la somme d'une famille finie quelconque de ses éléments, alors c'est un espace vectoriel.
\framebox{B}
Si un sous-ensemble de $ E$ est un espace vectoriel, alors il contient l'opposé de tout vecteur de $ E$.
\framebox{C}
L'intersection de deux sous-espaces vectoriels de $ E$ est toujours un sous-espace vectoriel de $ E$.
\framebox{D}
Si un sous-ensemble de $ E$ contient tous les plans vectoriels engendrés par deux quelconques de ses vecteurs, alors c'est un sous-espace vectoriel de $ E$.
\framebox{E}
La réunion de deux sous-espaces vectoriels de $ E$ est toujours un sous-espace vectoriel de $ E$.

Question 2    
\framebox{A}
L'ensemble $ \{ (x,y,z) ,\;x^2+y^2=1 \}$ est un sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R}^3$.
\framebox{B}
L'ensemble $ \{ (x,y,z) ,\;x^2+y^2=0 \}$ est un sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R}^3$.
\framebox{C}
L'ensemble $ \{ (x,y,z) ,\;x^2=y^2 \}$ est un sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R}^3$.
\framebox{D}
L'ensemble $ \{ (x,y,z) ,\;x=y \}$ est un sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R}^3$.
\framebox{E}
L'ensemble $ \{ (x,y,z) ,\;x=y=1 \}$ est un sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R}^3$.

Question 3   Dans $ \mathbb{R}^3$ :
\framebox{A}
$ ((0,0,1), (0,1,1), (1,1,1), (1,2,1))$ est une famille génératrice.
\framebox{B}
$ ((1,1,1), (0,1,1), (1,0,0), (1,2,2))$ est une famille génératrice.
\framebox{C}
$ ((1,0,1), (1,-1,1), (2,1,2), (1,2,1))$ est une famille génératrice.
\framebox{D}
$ ((1,0,1), (1,-1,1), (2,1,2), (1,2,0))$ est une famille génératrice.
\framebox{E}
$ ((0,3,-2), (1,-1,2), (2,1,2), (1,2,0))$ est une famille génératrice.

Question 4   Dans $ \mathbb{R}^3$ :
\framebox{A}
$ ((1,0,1), (1,-1,1), (0,1,0))$ est une famille libre.
\framebox{B}
$ ((1,0,1), (1,-1,1), (2,1,0))$ est une famille libre.
\framebox{C}
$ ((1,0,1), (1,-1,1), (2,1,2))$ est une famille libre.
\framebox{D}
$ ((0,3,-2), (1,-1,1), (2,1,0))$ est une famille libre.
\framebox{E}
$ ((0,3,-2), (1,-1,1), (2,1,2))$ est une famille libre.

Question 5   Dans $ \mathbb{R}^4$ :
\framebox{A}
Toute famille libre de 4 vecteurs est une base.
\framebox{B}
Si on ajoute un vecteur quelconque à une base, on obtient une famille génératrice.
\framebox{C}
Si on ajoute un vecteur quelconque à une famille libre de trois vecteurs, on obtient une base.
\framebox{D}
Si une famille de vecteurs contient le vecteur nul, elle n'est pas génératrice.
\framebox{E}
Toute famille de trois vecteurs non nuls est libre.

Question 6   Dans $ \mathbb{R}^4$ :
\framebox{A}
Si une famille de 4 vecteurs est de rang 3, alors 2 au moins des vecteurs de la famille sont colinéaires.
\framebox{B}
Si une famille de 3 vecteurs est de rang 3, alors elle est libre.
\framebox{C}
Si une famille de 3 vecteurs est de rang 1, alors tous ses vecteurs sont colinéaires à un même vecteur.
\framebox{D}
Si une famille de 5 vecteurs est de rang 4, alors toute sous-famille de 4 vecteurs est une base.
\framebox{E}
Si une famille de 3 vecteurs est de rang 2, alors on peut la compléter par un vecteur de manière à obtenir une base.

Question 7    
\framebox{A}
L'application de $ \mathbb{R}^3$ dans $ \mathbb{R}$, qui à $ (x,y,z)$ associe $ \vert x+y+z\vert$ est linéaire.
\framebox{B}
L'application de $ \mathbb{R}^3$ dans $ \mathbb{R}^2$, qui à $ (x,y,z)$ associe $ (x,(y+z)^2)$ est linéaire.
\framebox{C}
L'application de $ \mathbb{R}^3$ dans $ \mathbb{R}$, qui à $ (x,y,z)$ associe $ x+y+z$ est linéaire.
\framebox{D}
L'application de $ \mathbb{R}^3$ dans $ \mathbb{R}^2$, qui à $ (x,y,z)$ associe $ (x,y+z)$ est linéaire.
\framebox{E}
L'application de $ \mathbb{R}^3$ dans $ \mathbb{R}^2$, qui à $ (x,y,z)$ associe $ (x+y,(y+z)/(x+z))$ est linéaire.

Question 8   On considère l'application $ f$, de $ \mathbb{R}^3$ dans $ \mathbb{R}^2$, qui à $ (x,y,z)$ associe $ (x+y,y+z)$.
\framebox{A}
L'application $ f$ est injective.
\framebox{B}
Le noyau de $ f$ est un plan vectoriel de $ \mathbb{R}^3$.
\framebox{C}
L'application $ f$ est surjective.
\framebox{D}
L'image de $ f$ est la droite vectorielle engendrée par le vecteur $ (1,1)$.
\framebox{E}
Le noyau de $ f$ est la droite vectorielle engendrée par le vecteur $ (1,-1,1)$.

Question 9   Soit $ f$ une application linéaire de $ \mathbb{R}^3$ dans $ \mathbb{R}^4$.
\framebox{A}
Si le noyau de $ f$ est une droite vectorielle, alors l'image de $ f$ est un plan vectoriel.
\framebox{B}
Si le noyau de $ f$ est un plan vectoriel, alors l'image de $ f$ est un plan vectoriel.
\framebox{C}
Si le noyau de $ f$ est réduit à $ \{0\}$, alors $ f$ est surjective.
\framebox{D}
Si $ f$ est injective, alors l'image de $ f$ est un sous-espace de dimension 3 dans $ \mathbb{R}^4$.
\framebox{E}
Si l'image de $ f$ est réduite à $ \{0\}$, alors $ f$ est injective.

Question 10   Soit $ f$ l'application de $ \mathbb{R}^4$ dans $ \mathbb{R}^3$ dont la matrice relative aux bases canoniques de $ \mathbb{R}^4$ et $ \mathbb{R}^3$ est la matrice $ A$ suivante.

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}
1&2&1&0\\
0&0&1&1\\
1&2&1&0
\end{array}\right)\;.
$

\framebox{A}
L'application $ f$ est injective.
\framebox{B}
L'image de $ f$ est engendrée par les vecteurs $ (1,0,1)$ et $ (1,1,1)$.
\framebox{C}
Le noyau de $ f$ est un plan vectoriel.
\framebox{D}
L'image de $ f$ est engendrée par les vecteurs $ (1,0,1)$ et $ (2,0,2)$.
\framebox{E}
Le noyau de $ f$ est engendré par les vecteurs $ (-2,0,1,0)$ et $ (1,0,1,1)$.

\framebox{\rotatebox{180}{Réponses~: 1--CD~2--BD~3--AD~4--BE~5--AB~6--BC~7--CD~8--CE~9--AD~10--BC}}

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