Exercices

Exercice 1   Parmi les sous-ensembles suivants de $\mathbb{R}^3$, lesquels sont des sous-espaces vectoriels, lesquels n'en sont pas et pourquoi ?
a) $\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\;\vert x\vert=\vert y\vert=\vert z\vert\right\}$
b) $\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\;x=0 \text{ ou } y=0\right\}$
c) $\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\;x-2y+3z=0\right\}$
d) $\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\;x+y+z=1\right\}$
e) $\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\;x\leqslant y\leqslant z\right\}$
f) $\left\{(x,y,z),\; x=\alpha+2\beta+3\gamma, y=4\alpha+5\beta+6\gamma, z=7\alpha+8\beta+9\gamma,\textrm{o\\lq u }(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb{R}^3\right\}$

Exercice 2   Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les paramètres réels $a$ et $b$ pour que les familles suivantes soient des bases de $\mathbb{R}^3$.

1. $((1,1,1), (0,a,1), (0,0,b))$
2. $((1,0,1), (a,b,1), (b,a,1))$
3. $((1,a,b), (a,1,a), (b,b,1))$
4. $((a,a,b), (a,b,a), (b,a,a))$
5. $((0,a,b), (a,0,b), (a,b,0))$

Exercice 3   On considère les espaces vectoriels suivants.

$$E = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\;x+y=0\} \;,\quad E = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\;x=y\}$$

$$E = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x+y+z=0\} \;,\quad E = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x=y=z\}$$

1. Déterminer la dimension de $E$.
2. Donner une base de $E$.

Exercice 4   Compléter les familles suivantes de vecteurs de $\mathbb{R}^3$ en une base de $\mathbb{R}^3$.

1. $((1,1,1))$
2. $((1,1,0))$
3. $((1,1,1),(1,-1,-1))$
4. $((1,1,0),(1,-1,0))$
5. $((1,1,0),(1,1,1))$
6. $((1,1,0),(1,-1,1))$

Exercice 5   On considère les applications suivantes de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$.

$$\begin{array}{ll} f :\;(x,y)\mapsto (-x,-y)&f :\;(x,y)\mapst... ...;(x,y)\mapsto (x+y,x-y)&f :\;(x,y)\mapsto (x-y,x+y) \end{array}$$

Pour chacune de ces applications :

1. Vérifier que $f$ est une application linéaire.
2. Donner une interprétation géométrique de $f$ comme transformation du plan vectoriel, muni d'une base orthonormée $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$.
3. Déterminer $\mathrm{Ker}(f)$ et $\mathrm{Im}(f)$. L'application est-elle un automorphisme de $\mathbb{R}^2$ ?
4. Reprendre les deux questions précédentes pour l'application $f-I$, où $f$ est l'application considérée et $I$ désigne l'application identique de $\mathbb{R}^2$.

Exercice 6   On considère les applications linéaires suivantes.

$$\begin{array}{lrcl} f :&\mathbb{R}^3&\longrightarrow&\mathbb... ...&\mathbb{R}^3\\ &(x,y)&\longmapsto&(x+y,x-y,2x+3y) \end{array}$$

1. L'application $f$ est elle injective ? surjective ?
2. L'application $g$ est elle injective ? surjective ?
3. Déterminer $g\circ f$. Est-elle injective ? surjective ?
4. Déterminer $f\circ g$. Est-elle injective ? surjective ?

Exercice 7   Soient $E$, $F$ et $G$ des espaces vectoriels sur $\mathbb{R}$. Soit $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$ et $g$ une application linéaire de $F$ dans $G$.

1. Montrer que $\mathrm{Ker}(f) \subset \mathrm{Ker}(g\circ f)$.
2. Montrer que $\mathrm{Im}(g\circ f) \subset \mathrm{Im}(g)$.
3. Montrer que $g\circ f$ est l'application nulle si et seulement si $\mathrm{Im}(f)\subset \mathrm{Ker}(g)$.
4. Montrer que $g\circ f$ est injective si et seulement si $f$ est injective et $\mathrm{Im}(f)\cap \mathrm{Ker}(g) =\{0\}$.
5. Montrer que $g\circ f$ est surjective si et seulement si $g(\mathrm{Im}(f))=G$.

Exercice 8   Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, et $f$ un endomorphisme de $E$.

1. On suppose que $f\circ f$ est l'application nulle. Montrer que $\mathrm{Im}(f)\subset \mathrm{Ker}(f)$.
2. On suppose que $\mathrm{Ker}(f)= \mathrm{Im}(f)$. Montrer que $n$ est nécessairement pair.
3. On suppose que $f$ n'est pas l'application nulle et qu'il existe un entier $k$ tel que $f^{\circ k}$ (composée de $f$ avec elle-même $k$ fois) est l'application nulle (on dit que $f$ est nilpotente). Soit $k_0$ le plus petit entier tel que $f^{\circ k_0}$ est l'application nulle. Montrer qu'il existe un vecteur $v\in E$ tel que $f^{\circ(k_0-1)}(v)\neq 0$. Montrer que si $f^{\circ(k_0-1)}(v)\neq 0$, alors la famille de vecteurs $(v,f(v),\ldots,f^{\circ(k_0-1)})$ est libre.
4. En déduire que si $f$ est nilpotente, alors $f^{\circ n}$ est l'application nulle.

Exercice 9   Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$, muni d'une base
$(b_1,\ldots,b_n)$. Pour tout $i=1,\ldots,n$, on définit la $i$-ième application coordonnée $L_i$ comme l'application de $E$ dans $\mathbb{R}$ qui à $v\in E$ associe le réel $x_i$ qui est la $i$-ième coordonnée de $v$ sur la base $(b_1,\ldots,b_n)$.

$$\begin{array}{lcl} v&=&x_1 b_1+\cdots+x_i b_i+\cdots+x_n ... ..._1(v) b_1+\cdots+L_i(v) b_i+\cdots+L_n(v) b_n\;. \end{array}$$

1. Montrer que les $L_i$ sont des applications linéaires.
2. Montrer que le noyau de $L_i$ est un sous-espace vectoriel de dimension $n-1$ de $E$ (hyperplan).
3. On prend $E=\mathbb{R}^3$ et :
   $$b_1 = (1,0,-1)\;,\quad b_2 = (0,2,3)\;,\quad b_3 = (0,0,1)\;.$$
   Montrer que $(b_1,b_2,b_3)$ est une base de $E$. Pour $i=1,2,3$, déterminer l'image par $L_i$ d'un vecteur $v=(x,y,z)$ quelconque de $\mathbb{R}^3$.

Exercice 10   Soient $V$ et $W$ deux sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^4$ tels que $V\cap W=\left\{0\right\}$.

1. On note $V+W=\left\{u\in\mathbb{R}^4,\;u=v+w,\;v\in V,w\in W\right\}$. Montrez que $V+W$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$.
2. Soit $v$ un vecteur non nul de $V$, et $\{w_{1},w_{2}\}$ une famille libre de vecteurs de $W$.

   a.

   Qu'implique l'existence de ces deux familles libres sur les dimensions de $V$ et $W$ ?

   b.

   Montrez que la famille $\{v,w_{1},w_{2}\}$ est libre dans $\mathbb{R}^4$.

3. On considère maintenant une famille libre de deux vecteurs $\{v_{1},v_{2}\}$ de $V$. Montrez que $\{v_{1},v_{2},w_{1},w_{2}\}$ est une base de $\mathbb{R}^4$.

Exercice 11   On considère les applications suivantes de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$.

$$\begin{array}{ll} f :\;(x,y)\mapsto (-x,-y)&f :\;(x,y)\mapst... ...;(x,y)\mapsto (x+y,x-y)&f :\;(x,y)\mapsto (x-y,x+y) \end{array}$$

Déterminer la matrice de chacune de ces applications dans les bases suivantes de $\mathbb{R}^2$.

1. $((1,0), (0,1))$.
2. $((0,1),(1,0))$.
3. $((0,2),(-3,0))$.
4. $((0,1),(1,1))$.
5. $((1,1), (1,-1))$.

Exercice 12   Pour tout entier $n$, on munit $\mathbb{R}^n$ de sa base canonique. Donner la matrice de chacune des applications $f$ suivantes. Déterminer une base de $\mathrm{Im}(f)$ et une base de $\mathrm{Ker}(f)$.

1. $f : \mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^3\;,\quad (x,y)\longmapsto f(x,y)=(x+y,x-y,2x)$.
2. $f : \mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^3\;,\quad (x,y,z)\longmapsto f(x,y,z)=(0,y-z,z-x)$.
3. $f : \mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^3\;,\quad (x,y,z)\longmapsto f(x,y,z)=(x-y,y-z,z-x)$.
4. $f : \mathbb{R}^4\longrightarrow \mathbb{R}^2\;,\quad (x,y,z,t)\longmapsto f(x,y,z,t)=(x+y+2z-t,2x+y+z+t)$.
5. $f : \mathbb{R}^4\longrightarrow \mathbb{R}\;,\quad (x,y,z,t)\longmapsto f(x,y,z,t)=x-y+2z+3t$.

Exercice 13   Pour chacune des familles de vecteurs suivantes, déterminer son rang et donner une base de l'espace vectoriel qu'elle engendre.

1. $((1,0,1),(-1,0,-1),(2,0,2))$
2. $((1,0,1),(-1,0,-1),(2,0,2), (0,1,0),(1,1,1),(1,-2,1))$
3. $((1,0,1),(-1,0,-1),(2,0,2), (0,1,0),(1,1,1),(1,-2,-1))$
4. $((1,0,1,0),(-1,0,-1,0),(1,1,1,1),(0,1,0,1),(1,2,1,2))$
5. $((1,0,1,0),(-1,0,-1,0),(1,1,1,1),(0,1,0,1),(1,2,1,0))$
6. $((1,0,1,0),(-1,0,-1,0),(1,1,1,0),(0,1,0,1),(1,2,1,0))$

Exercice 14   On considère les matrices suivantes.

$$\left( \begin{array}{rrr} 1&0&0\\ 0&1&0 \end{array}\right) ... ...in{array}{rrr} -1&\hspace{3mm}2&3\\ 2&1&-3 \end{array}\right)$$

$$\left( \begin{array}{rrr} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array... ...gin{array}{rrr} -2&3&-4\\ 3&1&-3\\ 1&-2&0 \end{array}\right)$$

$$\left( \begin{array}{rrr} 0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0\\ 1&1&1 \... ...&\hspace{3mm}0\\ 2&1&0\\ -2&0&1\\ 0&-1&2 \end{array}\right)$$

On considère les vecteurs suivants.

$$\left(\begin{array}{r}0\ 1\ 0\end{array}\right)\quad \left(\beg... ...\ 1\end{array}\right)\quad \left(\begin{array}{r}3\ -1\ 2\end{array}\right)$$

Calculer le produit de chacune des matrices par chacun des vecteurs.