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Questions de cours : Soit $ n$ un entier et $ A=(a_{i,j})_{i,j=1,\ldots,n}$ une matrice de taille $ n\times n$.

  1. Donner l'expression du déterminant de $ A$ en fonction de ses coefficients.
  2. Démontrer que le déterminant de la transposée de $ A$ est égal au déterminant de $ A$.
  3. Donner la définition des cofacteurs de $ A$.
  4. Soit $ r$ un entier tel que $ 1\leqslant r<n$. Démontrer que si le rang de $ A$ est strictement inférieur à $ r$ alors tous les mineurs d'ordre $ r$ de $ A$ sont nuls.
  5. Démontrer que si le rang de $ A$ est supérieur ou égal à $ r$ alors il existe un mineur d'ordre $ r$ non nul.

Exercice 1 :Soit $ n\geqslant 2$ un entier. Soient $ a,b,x_1,\ldots,x_n$ des réels. On note $ A$ la matrice de taille $ n\times n$ dont la diagonale est $ (x_1,\ldots,x_n)$, les termes au-dessus sont tous égaux à $ a$, les termes au-dessous tous égaux à $ b$.

$\displaystyle A = \left(\begin{array}{ccccc}
x_1&a&\ldots&\ldots&a\\
b&x_2&\dd...
...dots\\
\vdots&&\ddots&\ddots&a\\
b&\ldots&\ldots&b&x_n
\end{array}\right)\;.
$

  1. Dans le cas particulier où $ a=b$ et tous les $ x_i$ sont égaux à $ x$, montrer que $ \mathrm{det}(A)=(x+(n-1)a)(x-a)^{n-1}$.
  2. On note $ J$ la matrice de taille $ n\times n$ dont tous les coefficients valent $ 1$. Dans le cas général, montrer que le polynôme $ \mathrm{det}(A+X J)$ est de degré $ 1$ en $ X$.
  3. Calculer $ \mathrm{det}(A-aJ)$ et $ \mathrm{det}(A-b J)$.
  4. On suppose $ a\neq b$. Montrer que

    $\displaystyle \mathrm{det}(A)= \frac{bP(a)-aP(b)}{b-a}\;,
$

    $ P$ désigne le polynôme $ P(X)=(x_1-X)\ldots(x_n-X)$.
  5. En déduire que pour $ a=b$, $ \mathrm{det}(A)=P(a)-aP'(a)$.

Exercice 2 :Soit $ n\geqslant 1$ un entier. Soient $ (a_1,\ldots,a_n)$ et $ (b_1,\ldots,b_n)$ deux éléments de $ \mathbb{C}^n$ tels que

$\displaystyle \forall i,j=1,\ldots,n\;,\quad a_i+ b_j\neq 0\;.
$

On appelle matrice de Cauchy et on note $ A_n$ la matrice de taille $ n\times n$ dont le coefficient d'indices $ (i,j)$ est $ \frac{1}{a_i+b_j}$. On note $ D_n$ son déterminant.

$\displaystyle D_n=\left\vert\begin{array}{ccccc}
\frac{1}{a_1+b_1}&\frac{1}{a_1...
...+b_1}&\frac{1}{a_n+b_2}&\ldots&\ldots&\frac{1}{a_n+b_n}
\end{array}\right\vert
$

  1. Montrer que si

    $\displaystyle \exists i\neq j\;,\quad a_i=a_j$ ou $\displaystyle b_i=b_j\;,
$

    alors $ D_n=0$.
  2. Montrer que

    $\displaystyle D_n=\frac{1}{(a_n+b_1)\cdots(a_n+b_n)}
\left\vert\begin{array}{cc...
...rac{a_n+b_n}{a_{n-1}+b_n} [1.5ex]
1&1&\ldots&\ldots&1
\end{array}\right\vert
$

  3. Montrer que

    $\displaystyle D_n=\frac{1}{(a_n+b_1)\cdots(a_n+b_n)}
\left\vert\begin{array}{cc...
...a_n-a_{n-1}}{a_{n-1}+b_n} [1.5ex]
1&1&\ldots&\ldots&1
\end{array}\right\vert
$

  4. Montrer que

    $\displaystyle D_n=\frac{(a_n-a_1)\cdots(a_n-a_{n-1})}{(a_n+b_1)\cdots(a_n+b_n)}...
...ots&\frac{1}{a_{n-1}+b_n} [1.5ex]
1&1&\ldots&\ldots&1
\end{array}\right\vert
$

  5. Montrer que

    $\displaystyle D_n=\frac{(a_n-a_1)\cdots(a_n-a_{n-1})}{(a_n+b_1)\cdots(a_n+b_n)}\times
$

    $\displaystyle \left\vert\begin{array}{ccccc}
\frac{b_n-b_1}{(a_1+b_1)(a_1+b_n)}...
...1}+b_n)}&\frac{1}{a_{n-1}+b_n} [1.5ex]
0&0&\ldots&0&1
\end{array}\right\vert
$

  6. Montrer que

    $\displaystyle D_n = \frac{(a_n-a_1)\cdots(a_n-a_{n-1})(b_n-b_1)\cdots(b_n-b_{n-1})}
{(a_n+b_1)\cdots(a_n+b_n)(a_1+b_n)\cdots(a_{n-1}+b_n)} D_{n-1}\;.
$

  7. En déduire que

    $\displaystyle D_n=\frac{\displaystyle{\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n} (a_i-a_j)(b_j-b_i)}}{\displaystyle{\prod_{1\leqslant i,j\leqslant n} (a_i+b_j)}}\;.
$

  8. On note $ C_{i,j}$ le cofacteur d'indices $ (i,j)$ de la matrice $ A_n$. On suppose que $ D_n\neq 0$. Montrer que

    $\displaystyle \frac{C_{i,j}}{D_n} =
\frac{(a_i+b_j)\displaystyle{\prod_{k\neq ...
...+b_j)}}
{\displaystyle{\prod_{k\neq i}(a_i-a_k)
\prod_{h\neq j}(b_j-b_h)}} \;.
$

  9. La matrice de Hilbert est le cas particulier de matrice Cauchy obtenu pour $ a_i=i$ et $ b_j=j-1$. Pour $ n=4$, écrire la matrice de Hilbert et calculer son déterminant.
  10. Calculer l'inverse de la matrice de Hilbert pour $ n=4$.

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