Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   La signature de la permutation proposée est $ +1$ : vrai ou faux et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ \left(\begin{array}{ccccc}
1&2&3&4&5 1&3&2&4&5
\end{array}\right)$
  2. $ \boxtimes\;$ $ \left(\begin{array}{ccccc}
1&2&3&4&5 2&1&3&5&4
\end{array}\right)$
  3. $ \square\;$ $ \left(\begin{array}{ccccc}
1&2&3&4&5 2&3&4&1&5
\end{array}\right)$
  4. $ \square\;$ $ \left(\begin{array}{ccccc}
1&2&3&4&5 4&5&3&2&1
\end{array}\right)$
  5. $ \square\;$ $ \left(\begin{array}{ccccc}
1&2&3&4&5 3&5&4&1&2
\end{array}\right)$
  6. $ \boxtimes\;$ $ \left(\begin{array}{ccccc}
1&2&3&4&5 3&2&4&1&5
\end{array}\right)$
  7. $ \boxtimes\;$ $ \left(\begin{array}{ccccc}
1&2&3&4&5 3&1&4&5&2
\end{array}\right)$

Vrai-Faux 2   Soient $ v_1,v_2,v_3,v_4$ 4 vecteurs quelconques de $ \mathbb{R}^4$. On note $ \mathrm{det}$ le déterminant dans la base canonique de $ \mathbb{R}^4$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Si $ v_2=-v_4$ alors $ \mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)=0$.
  2. $ \square\;$ Si $ v_3=-2v_4$ alors $ \mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)=-2$.
  3. $ \square\;$ $ \mathrm{det}(v_1,v_3,v_4,v_2)=-\mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$
  4. $ \boxtimes\;$ $ \mathrm{det}(v_1,2v_2,3v_4,4v_4)=24 \mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$
  5. $ \square\;$ $ \mathrm{det}(v_1+v_3,v_2,v_1+v_3,v_4)=2 \mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$
  6. $ \boxtimes\;$ $ \mathrm{det}(v_1+3v_3,v_2,v_3,v_4)=\mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$
  7. $ \boxtimes\;$ $ \mathrm{det}(v_1+3v_3,v_2,v_3,v_4-v_2)=\mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$
  8. $ \square\;$ $ \mathrm{det}(3v_1+v_3,v_2,v_3,v_4-v_2)=\mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$
  9. $ \boxtimes\;$ $ \mathrm{det}(2v_1+v_3,v_2,v_3,2v_4-v_2)=4 \mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$

Vrai-Faux 3   Soit $ n$ un entier supérieur ou égal à $ 2$. On considère un $ n$-uplet de vecteurs de $ \mathbb{R}^n$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Si on remplace l'un des vecteurs par une combinaison linéaire des autres le déterminant est inchangé.
  2. $ \square\;$ Si on soustrait au premier vecteur la somme de tous les vecteurs, le déterminant est inchangé.
  3. $ \boxtimes\;$ Si on soustrait le premier vecteur à chacun des autres, le déterminant est inchangé.
  4. $ \boxtimes\;$ Si on multiplie les deux premiers vecteurs par $ -1$, le déterminant est inchangé.
  5. $ \square\;$ Si on multiplie chacun des vecteurs par $ 2$, le déterminant est multiplié par $ 2^n$.
  6. $ \boxtimes\;$ Si on ajoute au dernier vecteur la somme de tous les vecteurs, le déterminant est multiplié par $ 2$.
  7. $ \boxtimes\;$ Si on échange deux des vecteurs, le déterminant est changé en son opposé.

Vrai-Faux 4   Soit $ A$ une matrice carrée de taille $ n\times n$ ( $ n\geqslant 2$). Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \vert A\vert=\vert{^t\!A}\vert$
  2. $ \square\;$ $ \vert 2A\vert=2\vert A\vert$
  3. $ \boxtimes\;$ $ \vert-A\vert=(-1)^n \vert A\vert$
  4. $ \square\;$ $ \vert A+{^t\!A}\vert=2\vert A\vert$
  5. $ \boxtimes\;$ Si $ A$ est diagonale, son déterminant est le produit des coefficients diagonaux.
  6. $ \boxtimes\;$ Si $ A$ est triangulaire, son déterminant est le produit des coefficients diagonaux.
  7. $ \square\;$ Si $ A$ est diagonale par blocs, son déterminant est le produit des coefficients diagonaux.
  8. $ \boxtimes\;$ Si une des lignes de $ A$ est combinaison linéaire des autres, alors $ \vert A\vert=0$.
  9. $ \boxtimes\;$ Si on ajoute à la première ligne de $ A$ une combinaison linéaire des autres, le déterminant est inchangé.
  10. $ \square\;$ Si on soustrait de la dernière ligne de $ A$ la somme de toutes les lignes, le déterminant est inchangé.

Vrai-Faux 5   Soient $ r$ et $ n$ deux entiers tels que $ 1\leqslant r<n$. Soit $ A$ une matrice carrée de taille $ n\times n$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ A$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
  2. $ \square\;$ $ A$ est de rang $ r$ si et seulement si au moins un des mineurs d'ordre $ r$ est non nul.
  3. $ \square\;$ Si $ A$ est de rang $ r$ alors tous les mineurs d'ordre $ r$ sont non nuls.
  4. $ \boxtimes\;$ Si $ A$ est de rang $ r$ alors tous les mineurs d'ordre $ r+1$ sont nuls.
  5. $ \boxtimes\;$ Si tous les mineurs d'ordre $ r$ sont nuls, alors $ A$ est de rang strictement inférieur à $ r$.
  6. $ \square\;$ S'il existe un mineur d'ordre $ r$ non nul, alors $ A$ est de rang $ r$
  7. $ \boxtimes\;$ S'il existe un mineur d'ordre $ r$ non nul, alors $ A$ est de rang au moins $ r$


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