Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $ f$ une fonction de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ définie sur un intervalle ouvert $ I$. Soit $ a$ un point de $ I$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est dérivable en $ a$, alors le taux d'accroissement de $ f$ en $ a$ est prolongeable par continuité en $ a$.
  2. $ \square\;$ Si $ f$ est dérivable en $ a\in I$, alors $ f$ est continue sur un intervalle ouvert contenant $ a$.
  3. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est dérivable sur $ I$, alors $ f$ est continue sur $ I$.
  4. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est dérivable à gauche en $ a$, alors $ f$ est continue à gauche en $ a$.
  5. $ \square\;$ Si $ f$ est dérivable à gauche et à droite en $ a$, alors $ f$ est dérivable en $ a$.
  6. $ \square\;$ Si la dérivée de $ f$ en $ a$ est nulle, alors la tangente à la courbe représentative de $ f$ en $ a$ est verticale.
  7. $ \boxtimes\;$ Si la tangente à la courbe représentative de $ f$ en $ a$ est verticale, alors $ f$ n'est pas dérivable en $ a$.

Vrai-Faux 2   Soient $ f$ et $ g$ deux fonctions de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$, dérivables sur un intervalle ouvert $ I$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ La dérivée de $ f+g$ est la somme des dérivées de $ f$ et de $ g$.
  2. $ \square\;$ La dérivée de $ fg$ est le produit des dérivées de $ f$ et de $ g$.
  3. $ \boxtimes\;$ Le quotient $ f/g$ est dérivable en tout point où $ g$ ne s'annule pas.
  4. $ \boxtimes\;$ La fonction $ x\mapsto \exp(f(x)g(x))$ est dérivable sur $ I$.
  5. $ \square\;$ La fonction $ x\mapsto f(\exp(x))$ est toujours dérivable sur $ I$.

Vrai-Faux 3   Soit $ f$ une fonction de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$, définie sur un intervalle ouvert $ I$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est de classe $ {\cal C}^1$ sur $ I$, alors $ f'$ est continue sur $ I$.
  2. $ \square\;$ Si $ f'$ est dérivable sur $ I$, alors $ f$ est de classe $ {\cal C}^2$ sur $ I$.
  3. $ \boxtimes\;$ Si $ f'$ est dérivable sur $ I$, alors $ f$ est de classe $ {\cal C}^1$ sur $ I$.
  4. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est de classe $ {\cal C}^\infty$ sur $ I$ alors ses dérivées successives sont toutes continues sur $ I$.
  5. $ \square\;$ Si $ f$ est de classe $ {\cal C}^1$ sur $ I$, alors $ \vert f\vert$ est de classe $ {\cal C}^1$ sur $ I$.
  6. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est de classe $ {\cal C}^0$ sur $ I$, alors $ \vert f\vert$ est de classe $ {\cal C}^0$ sur $ I$.
  7. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est de classe $ {\cal C}^\infty$ sur $ I$, alors $ x\mapsto
\mathrm{e}^{f(x)}$ est aussi de classe $ {\cal C}^\infty$ sur $ I$.

Vrai-Faux 4   Soit $ f$ une fonction de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$, dérivable sur un intervalle ouvert $ I$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Si la dérivée de $ f$ s'annule en un point de $ I$, alors ce point est un extremum local pour $ f$.
  2. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ prend la même valeur en deux points distincts, alors la dérivée de $ f$ s'annule entre ces deux points.
  3. $ \square\;$ Si $ f$ admet un maximum local, alors $ f$ admet un maximum global.
  4. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ admet un maximum local, alors la dérivée de $ f$ s'annule en ce point.
  5. $ \boxtimes\;$ Si la dérivée de $ f$ est positive ou nulle sur $ I$, alors $ f$ est croissante sur $ I$.
  6. $ \boxtimes\;$ Si la dérivée de $ f$ est strictement positive sur $ I$, alors $ f$ est strictement croissante sur $ I$.
  7. $ \square\;$ Si $ f$ est strictement croissante sur $ I$, alors sa dérivée est strictement positive sur $ I$.
  8. $ \boxtimes\;$ Si $ x$ et $ y$ sont deux points distincts tels que $ f(y)-f(x)=y-x$, alors il existe $ c\in ]x,y[$ tel que $ f'(c)=1$.

Vrai-Faux 5   Soit $ f$ une fonction de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$, définie sur un intervalle ouvert $ I$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est convexe sur $ I$, alors $ f$ est continue sur $ I$.
  2. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est convexe sur $ I$, alors $ f$ est dérivable à droite en tout point de $ I$.
  3. $ \square\;$ Si $ f$ est convexe sur $ I$, alors $ f$ est dérivable en tout point de $ I$.
  4. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est convexe et dérivable sur $ I$, alors la dérivée de $ f$ est croissante sur $ I$.
  5. $ \square\;$ Si $ f$ et convexe et dérivable sur $ I$, alors $ f$ est deux fois dérivable sur $ I$.
  6. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est deux fois dérivable sur $ I$, et si sa dérivée seconde est positive, alors $ f$ est convexe sur $ I$.
  7. $ \square\;$ Si $ f$ est convexe et deux fois dérivable sur $ I$, alors sa dérivée seconde ne s'annule pas sur $ I$.


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