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QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $ f$ la fonction $ x\mapsto x^3$ et $ \tau_1$ le taux d'accroissement de $ f$ au point $ 1$.
\framebox{A}
Le taux d'accroissement $ \tau_1$ est une fonction de $ \mathbb{R}\setminus\{1\}$ dans $ \mathbb{R}$.
\framebox{B}
Le taux d'accroissement $ \tau_1$ est égal à $ 3$.
\framebox{C}
Pour tout $ x\in \mathbb{R}$, $ \tau_1(x)=x^2+x+1$.
\framebox{D}
Le taux d'accroissement $ \tau_1$ n'admet pas de limite quand $ x$ tend vers $ 1$.
\framebox{E}
Le taux d'accroissement $ \tau_1$ est prolongeable par continuité en $ 1$.

Question 2   Soit $ f$ une fonction définie sur $ \mathbb{R}$, $ {\cal G}_f$ son graphe, et $ a$ un point de $ \mathbb{R}$.
\framebox{A}
Si $ {\cal G}_f$ admet une tangente au point $ (a,f(a))$, alors $ f$ est dérivable en $ a$.
\framebox{B}
Si $ f$ n'est pas dérivable en $ a$, alors $ f$ n'est pas continue en $ a$.
\framebox{C}
Si $ f$ est dérivable en $ a$, alors au voisinage de $ a$ $ (f(x)-f(a))=o(x-a)$.
\framebox{D}
Si $ f$ admet une dérivée nulle en $ a$, alors $ {\cal G}_f$ admet une tangente horizontale au point $ (a,f(a))$.
\framebox{E}
Si le taux d'accroissement de $ f$ en $ a$ tend vers $ +\infty$ quand $ x$ tend vers $ a$, alors $ {\cal G}_f$ admet une tangente verticale au point $ (a,f(a))$.

Question 3   Soit $ f$ la fonction définie par $ f(x)=\mathrm{e}^{-x^{-2}}$ si $ x\neq 0$ et $ f(0)=0$.
\framebox{A}
La dérivée de $ f$ en 0 est nulle.
\framebox{B}
La dérivée de $ f$ en $ x\neq 0$ est $ -2x\mathrm{e}^{-x^{-2}}$.
\framebox{C}
Le graphe de $ f$ admet une tangente verticale en 0.
\framebox{D}
La dérivée de $ f$ en $ 1$ est $ 2/\mathrm{e}$.
\framebox{E}
Pour tout $ x\in \mathbb{R}$ les dérivées de $ f$ en $ x$ et en $ -x$ sont égales.

Question 4   Soit $ f$ la fonction qui à $ x\in[-1,1]$ associe $ (1-x)\sqrt{1-x^2}$.
\framebox{A}
La fonction $ f$ est indéfiniment dérivable sur $ ]-1,1[ $.
\framebox{B}
La fonction $ f$ est dérivable à droite en $ -1$.
\framebox{C}
Le graphe de $ f$ admet une tangente verticale en $ 1$.
\framebox{D}
La dérivée de $ f$ en 0 est nulle.
\framebox{E}
La dérivée et la dérivée seconde de $ f$ prennent la même valeur en 0.

Question 5   Soit $ n\in\mathbb{N}$ un entier.
\framebox{A}
La dérivée $ n$-ième de $ x\mapsto 1/(x-1)$ est $ x\mapsto (-1)^n(n!)/(x-1)^{n+1}$.
\framebox{B}
La dérivée seconde de $ x\mapsto x/(x-1)$ s'annule en 0.
\framebox{C}
La dérivée troisième de $ x\mapsto \ln\vert x-1\vert$ est $ x\mapsto 2/(x-1)^2$.
\framebox{D}
La dérivée seconde de $ x\mapsto \ln\vert x^2-1\vert$ est $ x\mapsto 1/(x-1)^2+1/(x+1)^2$.
\framebox{E}
La dérivée troisième de $ x\mapsto x/(x-1)$ est $ x\mapsto -6/(x-1)^4$.

Question 6   Soit $ f$ une fonction dérivable de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$. Soient $ a$ et $ b$ deux réels.
\framebox{A}
Si $ f$ présente un maximum local en $ a$, alors $ f'(a)=0$.
\framebox{B}
Si $ f'(a)=0$, alors $ f$ présente un extremum local en $ a$.
\framebox{C}
Si $ f(a)=f(b)$, alors $ f$ atteint son maximum sur $ [a,b]$.
\framebox{D}
Si $ f(a)=f(b)$, alors $ f$ présente un extremum local en un point de $ ]a,b[ $.
\framebox{E}
S'il existe $ c\in ]a,b[$ tel que $ f'(c)=0$, alors $ f(a)=f(b)$.

Question 7   Soit $ f$ une fonction de $ [0,1]$ dans $ \mathbb{R}$, continue sur $ [0,1]$ et dérivable sur $ ]0,1[ $. On suppose que $ f(0)=0$ et $ f(1)=1$.
\framebox{A}
La fonction $ f$ est croissante sur $ [0,1]$.
\framebox{B}
Il existe $ c\in ]0,1[$ tel que $ f'(c)=1$.
\framebox{C}
Pour tout $ c\in ]0,1[ $, $ f'(c)\neq 0$.
\framebox{D}
La fonction $ f(x)-x$ admet un extremum local sur $ ]0,1[ $.
\framebox{E}
La fonction $ f(x)/x$ admet un extremum local sur $ ]0,1[ $.

Question 8   Soit $ f$ une fonction dérivable de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$.
\framebox{A}
Si $ f$ est strictement décroissante sur $ \mathbb{R}$, alors $ f'$ est strictement négative sur $ \mathbb{R}$.
\framebox{B}
Si $ f'$ est négative ou nulle sur $ \mathbb{R}$, alors $ f$ est décroissante sur $ \mathbb{R}$.
\framebox{C}
Si $ f'$ est strictement négative sur $ \mathbb{R}$, alors $ f$ est strictement décroissante sur $ \mathbb{R}$.
\framebox{D}
Si $ f$ est décroissante sur $ \mathbb{R}$, alors $ x\mapsto f(x)/x$ est décroissante sur $ \mathbb{R}^*$.
\framebox{E}
Si $ x\mapsto f(x)-x$ est décroissante sur $ \mathbb{R}$, alors $ f$ est décroissante sur $ \mathbb{R}$.

Question 9   Soit $ f$ une fonction de $ [0,1]$ dans $ \mathbb{R}$.
\framebox{A}
Si $ f$ est convexe sur $ ]0,1[$ alors $ f$ est continue sur $ ]0,1[ $.
\framebox{B}
Si pour tout $ \lambda\in ]0,1[ $, $ f(\lambda)\leqslant \lambda f(1)+(1-\lambda)f(1)$, alors $ f$ est convexe sur $ [0,1]$.
\framebox{C}
Si $ f$ est convexe sur $ [0,1]$ et $ f(0)=f(1)$, alors il existe $ c\in ]0,1[$ tel que la dérivée de $ f$ en $ c$ existe et soit nulle.
\framebox{D}
Si $ f$ est dérivable en un point $ c$ de $ ]0,1[ $, alors $ f'(c)$ est inférieure à $ f(1)-f(0)$.
\framebox{E}
Si $ f$ est convexe sur $ [0,1]$ et $ f(0)=0$, alors la fonction $ x\mapsto f(x)/x$ est croissante sur $ ]0,1[ $.

Question 10   Soit $ f$ la fonction de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$, qui à $ x$ associe $ x^3-x^2$.
\framebox{A}
La fonction $ f$ est croissante sur $ \mathbb{R}$
\framebox{B}
La fonction $ f$ présente un maximum local en 0.
\framebox{C}
La fonction $ f$ présente un minimum global en $ 2/3$.
\framebox{D}
La fonction $ f$ est convexe sur $ [1/3,+\infty[ $.
\framebox{E}
La fonction $ f$ est croissante sur $ [1/3,+\infty[ $.

\framebox{\rotatebox{180}{Réponses~: 1--AE~2--DE~3--AD~4--AE~5--AE~6--AD~7--BD~8--BC~9--AE~10--BD}}

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