Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Les phrases suivantes sont-elles justes ?

1. $\square\;$Toute courbe paramétrée de classe $C^2$ est régulière.
2. $\boxtimes\;$Toute courbe paramétrée régulière a un espace tangent en tout point.
3. $\square\;$Si une courbe paramétrée admet une droite tangente en un point, alors elle est régulière en ce point.
4. $\square\;$Toute paramétrisation de la courbe géométrique d'équation $y=x^2$ est régulière.
5. $\boxtimes\;$Il existe une paramétrisation régulière de la courbe géométrique d'équation $y=x^2$.
6. $\square\;$Toute paramétrisation de la courbe géométrique d'équation $y=\sqrt{\vert x\vert}$ (avec $x\in \mathbb{R}$) est régulière.
7. $\square\;$Il existe une paramétrisation régulière de la courbe géométrique d'équation $y=\sqrt{\vert x\vert}$ (avec $x\in \mathbb{R}$).

Vrai-Faux 2   Les phrases suivantes sont-elles justes ?

1. $\boxtimes\;$Pour toute courbe paramétrée, il existe une paramétrisation non régulière.
2. $\boxtimes\;$Toute courbe normale est régulière.
3. $\square\;$Si une courbe une courbure nulle alors elle est plane.
4. $\square\;$La tangente à une courbe en un point d'inflexion traverse la courbe.
5. $\square\;$La tangente à une courbe en un point d'inflexion ne traverse jamais la courbe.
6. $\boxtimes\;$Si $m$ est un point d'inflexion d'une courbe, alors la coubure en ce point est nulle.

Vrai-Faux 3   Les phrases suivantes sont-elles justes ?

1. $\boxtimes\;$Une courbe rectifiable a une longueur finie.
2. $\square\;$La longueur d'une courbe paramétrée sur un intervalle $[a,b]$ de longueur finie est forcément finie.
3. $\square\;$Si une courbe est rectifiable, alors elle est de classe $C^1$.
4. $\boxtimes\;$Si une courbe paramétrée est de classe $C^1$, alors elle est rectifiable.
5. $\square\;$Si une courbe paramétrée est rectifable, alors il existe toujours un reparamétrage qui soit de classe $C^1$.
6. $\square\;$La longueur de la courbe paramétrée $\gamma : t \in [0,4\pi] \mapsto (R\cos t,R\sin t,3)$ vaut $2\pi R$.

Vrai-Faux 4   Les phrases suivantes sont-elles justes ?

1. $\square\;$La courbe paramétrée $\gamma : t\mapsto (t^2,t^3,t^4)$ n'admet pas de droite tangente en $t=0$.
2. $\boxtimes\;$La droite tangente à la courbe paramétrée $\gamma : t\mapsto (t,t^2-1,4+t^5)$ en $t=0$ a pour équation
   $$\left\{ \begin{array}{l} x=u\\ y=-1\\ z=4\\ \end{array}\right. \quad \mbox{avec } u\in \mathbb{R}$$

3. $\boxtimes\;$La droite tangente à la courbe paramétrée $\gamma : t\mapsto (2+t^3,2t^2,t^5)$ en $t=0$ a pour équation
   $$\left\{ \begin{array}{l} x=2\\ y=u\\ z=0\\ \end{array}\right. \quad \mbox{avec } u\in \mathbb{R}$$

4. $\square\;$La droite tangente à la courbe paramétrée $\gamma : t\mapsto (\cos t ,\sin t)$ en $t=\pi/4$ a pour équation
   $$\left\{ \begin{array}{l} x=-\sqrt{2}/2\\ y=\sqrt{2}/2\\ \end{array}\right. \quad \mbox{avec } u\in \mathbb{R}$$

5. $\boxtimes\;$La droite tangente à la courbe d'équation $y=3x^3$ au point $(2,24)$ a pour équation
   $$\left\{ \begin{array}{l} x=2+u\\ y=24+36u \end{array}\right. \quad \mbox{avec } u\in \mathbb{R}$$

6. $\boxtimes\;$La droite tangente à la courbe d'équation $y=-2x^2+1$ au point $(1,-1)$ a pour équation
   $$\left\{ \begin{array}{l} x=2+u\\ y=4+u \end{array}\right. \quad \mbox{avec } u\in \mathbb{R}$$

Vrai-Faux 5   Les phrases suivantes sont-elles justes ?

1. $\square\;$La surface paramétrée $f:(x,y)\mapsto (x,\vert x+3\vert+1,y)$ est régulière.
2. $\square\;$La surface paramétrée $f:(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mapsto (x^2-5y^2+3,2x^2-y^2,15x^2)$ est régulière en tout point.
3. $\boxtimes\;$Il existe une paramétrisation régulière de la surface paramétrée
   $f:(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mapsto (x^2-5y^2+3,2x^2-y^2,15x^2)$.
4. $\boxtimes\;$Le tore admet une paramétrisation régulière
5. $\square\;$Toute paramétrisation du carré $\{(x,y,0), x\in[0,1]$   et$y\in[0,1]\}$ est réguliere.
6. $\square\;$Il existe une paramétrisation régulière du cube $\{(x,y,z), \sup(\vert x\vert,\vert y\vert,\vert z\vert)=1\}$.

Vrai-Faux 6   Les phrases suivantes sont-elles justes ?

1. $\boxtimes\;$la torsion de l'hélice paramétrée par $t\in \mathbb{R}\mapsto (\cos t,\sin t,t)$ est constante.
2. $\square\;$Toute courbe sur la sphère a une torsion qui est non nulle en au moins un point.
3. $\boxtimes\;$Pour chaque courbe paramétrée régulière rectifiable, il existe une infinité de reparamétrisation par abscisse curviligne.
4. $\boxtimes\;$Une courbe paramétrée a une courbure identiquement nulle si et seulement si son support géométrique est un segment.
5. $\square\;$Une courbe paramétrée $\gamma:I\subset \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$ à courbure constante $\kappa\neq 0$ est forcément inclus dans un cercle.

Vrai-Faux 7   Les phrases suivantes sont-elles justes ?

1. $\boxtimes\;$Une surface paramétrée de la forme $(x,y)\in \mathbb{R}^2\mapsto(x,y,z=\phi(x,y))$ est toujours régulière.
2. $\square\;$Le support de $f:(x,y)\in \mathbb{R}^2\mapsto (2x-5y+2,2x-26y,15)$ est une sphère.
3. $\boxtimes\;$Le support de $f:(x,y)\in \mathbb{R}^2\mapsto (x-5y+3,2x-y,15x)$ est un plan affine.
4. $\square\;$Le support de $f:(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mapsto (x^2-5y^2+3,2x^2-y^2,15x^2)$ est un plan affine.
5. $\boxtimes\;$Le support de $f:(x,y)\in \mathbb{R}^2\mapsto (x^3-5y^3+3,2x^3-y^3,15x^3)$ est un plan affine.
6. $\boxtimes\;$Le support de $f:(t,\theta)\in \mathbb{R}^2\mapsto (t\cos \theta,t\sin \theta,t)$ est un cône.

Vrai-Faux 8   Les phrases suivantes sont-elles justes ?

1. $\boxtimes\;$Le support de la surface paramétrée $f:(t,\theta)\in \mathbb{R}^2 \mapsto (\cos t \cos \theta, \cos t \cos \theta, \sin t)$ est une sphère.
2. $\boxtimes\;$Le support de la surface paramétrée $f:(t,\theta)\in \mathbb{R}^2 \mapsto (\cos \theta, \cos \theta, t)$ est un cylindre.
3. $\square\;$Le support de la surface paramétrée $f:(t,\theta)\in \mathbb{R}^2 \mapsto ((2 + \cos t) \cos \theta,(2+ \cos t) \cos \theta, \sin t)$ est un paraboloïde.
4. $\boxtimes\;$Si les courbures principales au point $m$ sont de même signe et non nulles, alors la surface est localement du même coté de l'espace tangent.
5. $\boxtimes\;$Si les courbures principales au point $m$ sont de signe opposé, alors l'espace tangent en $m$ traverse localement la surface.
6. $\square\;$Si les deux courbures principales au point $m$ sont nulles, alors la surface est localement un plan.
7. $\square\;$Si une des deux courbures principales au point $m$ est nulles, alors l'espace tangent en $m$ traverse localement la surface.
8. $\square\;$Si une des deux courbures principales au point $m$ est nulles, alors l'espace tangent en $m$ ne traverse pas localement la surface.