Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $n$ un entier $\geqslant 2$. Parmi les expressions suivantes lesquelles sont égales à $n$, lesquelles sont différentes et pourquoi ?

1. $\square\;$ $${\sum_{k=0}^n 1}$$.
2. $\boxtimes\;$ $${\sum_{k=0}^{n-1} 1}$$.
3. $\square\;$ $${\sum_{k=1}^{n} 2k/n}$$.
4. $\boxtimes\;$ $${\sum_{k=0}^{n-1} 2k/(n-1)}$$.
5. $\boxtimes\;$ $${\sum_{k=1}^{n} k-\sum_{h=0}^{n-1} h}$$.
6. $\square\;$ $${\sum_{k=1}^{n} k-\sum_{h=2}^{n-1} h}$$.
7. $\boxtimes\;$ $${\sum_{k=1}^{n-1} k-\sum_{h=2}^{n-2} h}$$.
8. $\square\;$ $${\sum_{k=n}^{n} 1}$$.
9. $\boxtimes\;$ $${\sum_{k=n}^{n} k}$$.

Vrai-Faux 2   Soient $n$ et $k$ deux entiers tels que $1\leqslant k\leqslant n$. Nous conviendrons que les entiers compris entre $k$ et $n$ sont $k,k+1,\ldots,n-1,n$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$Le nombre $n!/(n-k)!$ est entier.
2. $\square\;$Le nombre $k!/(n!)$ est entier.
3. $\square\;$Il y a $n-k$ entiers compris entre $k$ et $n$.
4. $\boxtimes\;$Il y a $(n-k+1)^2$ couples d'entiers compris entre $k$ et $n$.
5. $\square\;$Il y a $\binom{n-k+1}{3}$ triplets d'entiers, différents deux à deux, et tous compris entre $k$ et $n$.
6. $\boxtimes\;$Il y a $\binom{n-k+1}{3}$ triplets d'entiers $(a,b,c)$ tels que $a<b<c$, et $a,b,c$ compris entre $k$ et $n$.
7. $\square\;$La somme des entiers compris entre $k$ et $n$ est $(n-k)(n-k+1)/2$.
8. $\square\;$La somme des entiers compris entre $k$ et $n$ est $n(n+1)/2-k(k+1)/2$.
9. $\boxtimes\;$La somme des entiers compris entre $k$ et $n$ est $n(n+1)/2-k(k-1)/2$.
10. $\square\;$La somme des nombres $2^h$ pour $h$ compris entre $k$ et $n$ vaut $2^{n+1}-2^{k+1}$.
11. $\boxtimes\;$La somme des nombres $2^h$ pour $h$ compris entre $k$ et $n$ vaut $2^{n+1}-2^k$.

Vrai-Faux 3   Dans une course de chevaux, 10 chevaux sont au départ. Vous en choisissez 3 que vous classez pour jouer au tiercé. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$Il y a 3 tiercés dans le désordre.
2. $\boxtimes\;$Il y a $3!$ tiercés, dont $1$ dans l'ordre.
3. $\square\;$Il y a $\binom{10}{3}$ tiercés possibles.
4. $\square\;$Il y a 720 ordres d'arrivée possibles.
5. $\boxtimes\;$Il y a plus de 3 millions d'ordres d'arrivée possibles.
6. $\boxtimes\;$Vous avez $720$ choix différents.
7. $\square\;$Vous avez une chance sur 120 de gagner le tiercé dans l'ordre.
8. $\boxtimes\;$Vous avez une chance sur 120 de gagner, soit dans l'ordre, soit dans le désordre.

Vrai-Faux 4   Parmi les égalités suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $${\sum_{k=0}^n 3^k = \frac{3^{n+1}-1}{2}}$$.
2. $\square\;$ $${\sum_{k=1}^{n-1} 3^k = \frac{3^n-1}{2}}$$.
3. $\boxtimes\;$ $${\sum_{k=1}^{n-1} 3^k = \frac{3^n-3}{2}}$$.
4. $\boxtimes\;$ $${\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}3^k = 4^n}$$.
5. $\square\;$ $${\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}3^k = 4^n-3}$$.
6. $\boxtimes\;$ $${\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k}3^k = 4^n-3^n}$$.
7. $\boxtimes\;$ $${\sum_{k=2}^n \binom{n}{k}3^k = 4^n-1-3n}$$.

Vrai-Faux 5   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$Tout nombre réel a pour argument 0.
2. $\boxtimes\;$Tout nombre réel strictement négatif a pour argument $\pi$.
3. $\boxtimes\;$Tout nombre imaginaire pur non nul a pour argument $\pi/2$ ou $3\pi/2$.
4. $\boxtimes\;$Le conjugué d'un nombre imaginaire pur est égal à son opposé.
5. $\square\;$Si deux nombres complexes ont le même argument alors leur produit est réel.
6. $\boxtimes\;$Le produit de deux nombres imaginaires purs est réel.
7. $\boxtimes\;$Si deux nombres complexes non nuls ont le même argument alors leur quotient est réel.
8. $\boxtimes\;$Si deux nombres complexes non nuls ont le même module alors leur quotient a pour module $1$.

Vrai-Faux 6   Soit $z$ un nombre complexe non nul. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$Le module de $z$ égal au module de son conjugué.
2. $\square\;$L'argument de $z$ est l'opposé de l'argument de son conjugué.
3. $\boxtimes\;$Le produit de $z$ par une racine $n$-ième de l'unité a le même module que $z$.
4. $\square\;$L'argument de $-z$ est l'opposé de l'argument de $z$.
5. $\boxtimes\;$Si la partie imaginaire de $z$ est positive, alors son argument est compris entre 0 et $\pi$.
6. $\square\;$L'argument de $z^2$ est le double de l'argument de $z$.
7. $\boxtimes\;$L'argument de $z/\overline{z}$ est égal à l'argument de $z^2$.

Vrai-Faux 7   On pose $z=-\sqrt{2+\sqrt{2}}+\mathrm{i}\sqrt{2-\sqrt{2}}$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$la partie réelle de $z$ est l'opposé de sa partie imaginaire.
2. $\boxtimes\;$la partie réelle de $z^2$ est l'opposé de sa partie imaginaire.
3. $\square\;$l'argument de $z^2$ est $-\pi/4$.
4. $\boxtimes\;$l'argument de $z^2$ est $7\pi/4$.
5. $\square\;$le module de $z^2$ est 16.
6. $\boxtimes\;$le module de $z$ est $2$.
7. $\boxtimes\;$ $z^2=4\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}$.
8. $\square\;$ $z=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/8}$.
9. $\boxtimes\;$ $z=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}(7\pi/8)}$.
10. $\square\;$ $\cos(7\pi/8)=(\sqrt{2+\sqrt{2}})/2$.
11. $\boxtimes\;$ $\cos(\pi/8)=(\sqrt{2+\sqrt{2}})/2$.
12. $\boxtimes\;$ $\sin(7\pi/8)=(\sqrt{2-\sqrt{2}})/2$.

Vrai-Faux 8   A tout nombre complexe $z\neq -2$, on associe $z'=(z-4\mathrm{i})/(z+2)$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ L'ensemble des points d'affixe $z$ tels que $z'$ est réel est un cercle.
2. $\boxtimes\;$ L'ensemble des points d'affixe $z$ tels que $z'$ est réel est une droite privée d'un point.
3. $\boxtimes\;$ L'ensemble des points d'affixe $z$ tels que $z'$ est imaginaire pur est un cercle privé d'un point.
4. $\square\;$ L'ensemble des points d'affixe $z$ tels que $\vert z'\vert=1$ est un cercle.
5. $\square\;$ L'ensemble des points d'affixe $z$ tels que $\vert z'\vert=1$ est une droite privée d'un point.
6. $\boxtimes\;$ L'ensemble des points d'affixe $z$ tels que $\vert z'\vert=1$ est une droite.

Vrai-Faux 9   L'application qui à un point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $\mathrm{i}z-1$ est (vrai ou faux et pourquoi) ?

1. $\square\;$une translation.
2. $\square\;$une homothétie de rapport $\mathrm{i}$.
3. $\boxtimes\;$une rotation.
4. $\square\;$une rotation dont le centre est le point d'affixe $1$.
5. $\boxtimes\;$une rotation dont le centre est le point d'affixe $-(1+\mathrm{i})/2$.
6. $\square\;$une rotation d'angle $-\pi/2$.

Vrai-Faux 10   L'application qui à un point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $\mathrm{i} \overline{z}$ est (vrai ou faux et pourquoi) ?

1. $\square\;$une homothétie de rapport $\mathrm{i}$.
2. $\square\;$une rotation.
3. $\boxtimes\;$une symétrie.
4. $\square\;$la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
5. $\boxtimes\;$la symétrie par rapport à la première bissectrice.