Géométrie du plan complexe

Nous rappelons ici les liens entre les calculs sur les nombres complexes et la géométrie du plan. Le premier résultat concerne les mesures de distances et d'angles.

Théorème 7   Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts deux à deux, d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$.

1. La distance entre $A$ et $B$ est le module de $z_B-z_A$.
2. L'angle orienté $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$ est égal à l'argument du rapport $(z_B-z_C)/(z_A-z_C)$.

Si $C$ est un point du plan d'affixe $z_C$, et $\rho$ et un réel positif, l'ensemble des points dont l'affixe $z$ est telle que $\vert z-z_C\vert=\rho$ est le cercle de centre $C$ et de rayon $\rho$. On peut aussi écrire ce cercle comme l'ensemble des points d'affixe $z_C+\rho \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, où $\theta$ décrit $[0,2\pi[$. Comme conséquence immédiate du point 2, les points $A,B,C$ sont alignés si et seulement si l'argument de $(z_B-z_C)/(z_A-z_C)$ est égal à 0 ou $\pi$ ; le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ si l'argument de $(z_B-z_C)/(z_A-z_C)$ est égal à $\pi/2$ ou $3\pi/2$. Voici maintenant la traduction sous forme de tranformations dans $\mathbb{C}$ des translations, homothéties et rotations (figure 5).

Théorème 8   Soit $f$ une application de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$. On note $F$ l'application du plan dans lui-même qui au point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $f(z)$. Soit $A$ un point du plan, d'affixe $z_A$.

1. Translation : L'application $F$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{OA}$, si et seulement si $f$ est l'application qui à $z$ associe $z+z_A$.
2. Homothétie : Soit $r$ un réel. L'application $F$ est l'homothétie de centre $A$ et de rapport $r$ si et seulement si $f$ est l'application qui à $z$ associe le complexe $f(z)$ tel que $f(z)-z_A=r(z-z_A)$.
3. Rotation : Soit $\theta$ un réel. L'application $F$ est la rotation de centre $A$ et d'angle $\theta$ si et seulement si $f$ est l'application qui à $z$ associe le complexe $f(z)$ tel que $f(z)-z_A=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z-z_A)$.

Figure 5: Translation, homothétie et rotation dans le plan complexe.

Notons $M(z)$ le point du plan d'affixe $z$. Si $z$ et $z'$ sont des nombres complexes, le produit $zz'$ peut être décrit comme l'unique nombre complexe tel que le triangle $(M(0),M(z'),M(zz'))$ soit semblable au triangle $(M(0),M(1),M(z))$ (figure 6).

Figure 6: Interprétation géométrique du produit de deux complexes.