MODÉLISATION GÉOMÉTRIQUE
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Objectifs de l'enseignement:
La plupart des domaines scientifiques conduisent a tracer
des courbes ou des surfaces. Le cours Modelisation Geometrique
(Conception Geometrique Assistee par Ordinateur) traite
des problemes d'interpolation (trace de courbes par des points
donnes) ou de lissage (lorsque les donnes sont entachees
d'erreurs) ainsi que de "design" (trace de formes) par des
courbes de Bezier ou des courbes splines (polynomiales par morceaux).
Une attention particuliere sera portee sur l'interpretation
geometrique des proprietes et des algorithmes de calcul
des courbes parametriques de Bezier et B-spline.
Contenu:
I. DESIGN GEOMETRIQUE DE COURBES
- Courbes de Bezier: courbes paramétriques, polynomes de Bernstein,
algorithme d'évaluation de De Casteljau, subdivision, élévation du
degré, dérivation, propriétés géométriques (invariance affine,
enveloppe convexe, diminution de la variation).
- Fonctions B-spline: les B-splines comme base de P(k,t,r), multiplicites
des neouds, raccord de classe C^k, un support local et minimal.
- Courbes B-spline: B-splines paramétriques, polgone de controle,
algorithme d'évaluation de De Boor, propriétés géométriques
(invariance affine, controle local, enveloppe convexe, neouds multiples
au bord), insertion de neouds.
- Courbes spline géométriques: notion de continuité géométrique,
invariantes géométriques, Frenet frame, nu-splines, tau-splines.
- Applications pour la CAO/CFAO: courbes offset, calcul d'intersections,
algorithmes de lissage.
de validation croisée pour le choix du paramètre de lissage.
II. INTERPOLATION et LISSAGE
- Lissage par moindres carrés: introduction de poids et de contraintes.
- Interpolation par splines polynomiales: espaces de spline, minimisation
d'une énergie, algorithme de calcul de la spline d'interpolation,
bases de spline (B-spline).
- Lissage par spline: splines de lissage, algorithmes de calcul, méthodes
de validation croisée pour le choix du paramètre de lissage.
III. DESIGN GEOMETRIQUE DE SURFACES
- surfaces paramétriques produit tensoriel, surfaces de Bézier
- propriétés: invariance affine
- Evaluation: algorithme de De Casteljau
- Derivées: derivées partielles, derivées tranversales, raccordement C1, C2 de deux
morceaux de surface.
Prérequis:
Interpolation polynomiale, notions elementaires d'algebre.
Forme d'examen:
un devoir surveille avec document.
un TP (programme en MATLAB et Rapport redigé)
Bibliographie:
G. FARIN: Courbes et Surfaces pour la CGAO, Masson, 1992
G. FARIN: Curves and Surfaces for CAGD, a practical guide, Academic Press, 1997
J. Hoschek, D. LASSER: Fundamentals of Computer Aided Geometric Design, AK Peters, 1993
J.J. RISLER: Methodes mathematiques pour la CAO, Masson, 1991
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