Projet MADISON : texte de l'appel à projet

Introduction du projet
Contexte de l'étude
Programme de travail

Introduction

Il est aujourd'hui généralement admis que les polaritons de surface sont à la base de phénomènes passionnants tels la transmission de la lumière à travers des ouvertures sub-longueur d'onde ou l'effet de Raman de Surface exalté (SERS) [ELGTW98] L'excitation optique des plasmons de surface conduit à une concentration d'énergie électromagnétique dans des volumes bien inférieurs à λ3, où λ est la longueur d'onde de la lumière incidente. Par ce mécanisme, on peut localiser de très forts champs électromagnétiques dans des cavités métalliques ou dans d'autres types de systèmes métalliques. Les applications potentielles de ce phénomène sont nombreuses, notamment en microscopie en champ proche.

Nous nous intéressons en particulier à des réseaux métalliques de fentes parallèles, qui sont fabriqués et étudiés expérimentalement par A. Barbara et P. Quémerais, chercheurs à l'Institut Néel [BQBL02] [QBLL05] avec qui nous collaborons. L'objectif de ces travaux est d'arriver à une meilleure compréhension du rôle joué par la rugosité des surfaces dans la création des ondes de surfaces responsables des SERS, à travers l'étude de structures dont les géométries sont suffisamment simples.

Du point de vue mathématique, les travaux que nous souhaitons mener concernent l'analyse asymptotique des champs électromagnétiques pour prédire les fréquences résonantes et comprendre leur stabilité. Nous nous concentrerons sur l'étude de cavités rectangulaires sub-longueur d'onde, pour lesquelles nous avons la chance de disposer de données expérimentales.

Pour faire une telle étude le contexte grenoblois est particulièrement porteur car il n'est en général pas facile d'avoir accès à des données expérimentales à cette échelle. Ceci nécessite de savoir abriquer des objets sub-longueur d'onde avec une qualité suffisante pour pouvoir correspondre à des modèles abstraits comme celui des cavités rectangulaires. L'interaction avec des physiciens peut nous permettre également de suggérer des contextes expérimentaux pour valider telle ou telle hypothèse.

Contexte de l'étude

Les développements récents de techniques de microscopie de plus en plus fines ont ouvert l'accès à un nouveau monde de la physique. On peut désormais interagir avec la matière pratiquement à l'échelle atomique et toute une ingéniérie des nanosciences est en train de se constituer. L'étude des propriétés diffractives des matériaux fournit un cadre naturel pour étudier les matériaux à l'échelle du micromètre. La prise en compte d'interactions fines dans les structures (par exemple issues de défauts) permet de gagner en résolution et permet d'accéder à la matière en dessous de la dizaine de nanomètres.

Notre projet se situe dans ce contexte. Notre ambition est de contribuer à l'étude de phénomènes de diffraction par des surfaces rugueuses (SERS) qui révèlent des propriétés sub-longueur d'onde des surfaces étudiées. Ces phénomènes (création de «points chauds» électromagnétiques associés au SERS) sont déjà utilisés dans des applications telles que la reconnaissance de protéines.

L'étude des propriétés diffractives fines des matériaux fait l'objet de nombreux travaux mathématiques récents : étude de matériaux photoniques [Kuc01], études asymptotiques en présence de défauts localisés [VV00], asymptotiques haute fréquence en présence de défauts [HV].

Plusieurs équipes travaillent activement sur l'étude des propriétés diffractives de surfaces rugueuses. F. Reitich et C. Turc (University of Minnesota) se sont intéressés à des méthodes numériques pour la diffraction par des surfaces rugueuses, en dimension 3, qui sont robustes par rapport à la fréquence [RT05a] [RT05b]. Ces travaux reposent sur une formulation intégrale de la solution des équations de Maxwell et sur l'étude du noyau en fonction de la fréquence. P. Joly (INRIA) et S. Tordeux (INSA Toulouse) ont étudié des milieux bidimensionnels comportant des fentes minces par des techniques de développements asymptotiques raccordés et ont mis en évidence les phénomènes de résonance [JT06]. G.A. Kriegsman (New Jersey Institute of Technology) a quant à lui étudié le même système de fentes d'un point de vue numérique [Kri04].

Gang Bao a travaillé sur le problème de diffraction d'ondes par des structures périodiques constituées de matériaux non linéaires. Il a abordé en particulier, avec K. Huang et G. Schmidt [BHS03] [Bao01], le problème d'optimisation de la forme d'un réseau périodique pour l'amplification d'effets optiques non linéaires liés à la génération d'harmoniques d'ordre deux.

Au niveau local, ce projet nous permettrait de poursuivre notre collaboration avec l'équipe de P. Quémerais à l'Institut Néel, spécialisée dans la conception de nouveaux matériaux et d'exploitation de nouvelles propriétés dans le domaine extêmement compétitif de l'optique laser. Elle a proposé récemment un dispositif ingénieux de contrôle de la localisation de forts champs électromagnétiques à l'échelle sub-longueur d'onde, qui est une des réalisations marquantes de l'Institut Néel en 2006.

Programme de travail

1. Calcul de dipôles équivalents

Les résultats expérimentaux suggèrent que les facteurs d'amplification des champs dépendent de l'épaisseur des cavités. Un premier objectif concerne l'analyse d'un plan métallique semi-infini, percé d'une cavité de largeur w. Nous cherchons à obtenir des asymptotiques de la fonction de Green lorsque w tend vers 0. De premiers résultats ont déjà fait l'objet de communications par E. Bonnetier et F. Triki [BT06] [BT07]. L'analyse est basée sur des techniques de représentation intégrale, bien adaptées aux géométries considérées [ABB99]. La fonction de Green effective limite correspond en fait à un plan métallique semi-infini sur lequel est placé un dipôle.

Nous chercherons (entre autre dans le cadre du post-doctorat de J.-F. Babadjian) à déterminer les caractéristiques de ce dipôle en fonction de la géométrie de la fente. Nous pensons ensuite étendre cette étude à l'analyse d'arrangements périodiques et quasi-périodiques de rainures, pour lesquels il faudra de surcroît tenir compte des ondes de surface.

2. Conditions au bord et nonlinéarités

L'analyse décrite ci-dessus sera menée sous l'hypothèse d'un réseau métallique parfaitement conducteur. Nous chercherons également à relaxer cette hypothèse en utilisant des conditions d'impédance ou en considérant le réseau métallique par un matériau à coefficients diélectriques complexes. Ceci a déjà été partiellement réalisé par nos collègues de l'Institut Néel [BQBLF03]. Nous voulons étendre leurs conditions à toute la surface des fentes et étudier également le cas où les rainures sont remplies d'un matériau non linéaire, de type Kerr typiquement.

On étudiera l'impact des nouveaux paramètres ainsi introduits sur les différents régimes asymptotiques. Cette étude sera réalisée conjointement théoriquement et numériquement par B. Bidégaray, E. Dumas et C. Ogabi.

3. Interaction de fentes

Un deuxième objectif concerne l'interaction de plusieurs fentes sub-longueur d'onde. Nous chercherons à comprendre comment cette interaction se traduit de manière asymptotique et comment elle affecte d'éventuels phénomènes d'amplification des champs. En particulier, les modes de cavité seront caractérisés à l'aide d'un opérateur intégral, ce qui permettra d'étudier leurs asymptotiques, à l'instar des travaux de H. Ammari et F. Triki [AT04]. Nous chercherons également à adapter des résultats de H. Ammari et S. Moskow [AM03], pour exprimer les premiers termes des développements asymptotiques des valeurs propres en termes de «tenseurs de polarisation» des cavités.

On aimerait comparer les asymptotiques obtenues aux propriétés spectrales de systèmes de dipôles. Ceci permettrait des prédictions relativement simples des modes de surface. Le cas des réseaux quasi-périodiques est à ce titre particulièrement intéressant. À notre connaissance, peu de travaux se sont intéressés aux propriétés spectrales d'opérateurs quasi-périodiques, et nous espérons que le fait de se restreindre à des fentes rectangulaires nous permettra d'obtenir des résultats encore hors de portée pour des surfaces rugueuses quelconques.

4. Géométries complexes et optimisation de forme

Pour pouvoir traiter des géométries plus complexes et comparer nos résultats avec les données expérimentales, nous envisageons enfin de développer un code numérique basé sur des éléments finis ou des formulations intégrales. Ceci nous permettrait également dans un deuxième temps de nous intéresser à des problèmes d'optimisation de forme. Un tel problème est clairement celui de l'optimisation du réseau pour maximiser un mode de surface à une fréquence donnée, en s'inspirant de techniques de S. Cox et D. Dobson [CD99].

Références

[ABB99] H. Ammari, N. Béreux et E. Bonnetier. Analysis of the radiation properties of a planar antenna on a photonic crystal substrate, Math. Methods Appl. Sci., 24, 1021–1042, 1999.

[AM03] H. Ammari et S. Moskow. Asymptotic expansions for eigenvalues in the presence of small inhomogeneities, Math. Meth. Appl. Sci., 26, 67–75, 2003.

[AT04] H. Ammari et F. Triki. Resonances for microstrip transmission lines, SIAM J. Appl. Math., 64(2), 601–636, 2004.

[Bao01] G. Bao. On modeling and design problems in micro diffractive optics, International Series of Numer. Math., 139, 19–30, 2001.

[BHS03] G. Bao, K. Huang et G. Schmidt. Optimal design of nonlinear diffraction gratings, J. Comput. Phys., 184, 106–121, 2003.

[BQBL02] A. Barbara, P. Quémerais, E. Bustarret et T. Lopez-Rios. Electromagnetic Optical transmission through sub-wavelength metallic gratings, Phys. Rev. B, 66, 161403, 2002.

[BQBLF03] A. Barbara, P. Quémerais, E. Bustarret, T. Lopez-Rios et T. Fournier. Electromagnetic resonances of sub-wavelength rectangular metallic gratings, Euro. Phys. J. D, 23, 143–154, 2003.

[BT06] E. Bonnetier et F. Triki. Asymptotic of the Green Function for the Diffraction by a Perfectly Conducting Plane Perturbed by a Sub-wavelength Rectangular Cavity, in 7th International Symposium on Electric and Magnetic Fields – From Numerical Models to Industrial Applications, EMF 2006. Aussois, juin 2006.

[BT07] E. Bonnetier et F. Triki. Asymptotics for the Green function for the diffraction by a perfectly conducting plane perturbed by a rectangular cavity, in Challenges and Opportunities in Nano-Optics. Shanghai, Chine, janvier 2007.

[CD99] S.J. Cox et D. Dobson. Maximizing band gaps in two-dimensional photonic crystals, SIMA J. Appl. Math., 59(6), 2108–2120, 1999.

[ELGTW98] T.W. Ebbesen, H. Lezec, H. F. Ghaemi, T. Thio et P. A. Wolff. Extraordinary optical transmission through sub-wavelength hole arrays, Nature, 391, 667–669, 1998.

[HV] D.J. Hansen and M. Vogelius. High frequency perturbation formulas for the effect of small inhomogeneities, Preprint.

[JT06] P. Joly et S. Tordeux. Asymptotic analysis of an approximate model for time harmonic waves in media with thin slots, Math. Model. Numer. Anal., 40(1), 63–97, 2006.

[Kri04] G. A. Kriegsmann. Complete Transmission Through a Two-Dimensional Diffraction Grating, SIAM J. Appl. Math., 65(1), 24–42, 2004.

[Kuc01] P. Kuchment. The Mathematics of Photonic Crystals, Chapter 7 in Mathematical Modeling in Optical Science, G. Bao, L. Cowsar, and W. Masters Eds, Frontiers in Applied Mathematics 22, 207– 272, SIAM, 2001.

[QBLL05] P. Quémerais, A. Barbara, J. Le Perchec et T. Lopez-Rios. Efficient excitation of cavity resonances of sub-wavelength metallic gratings, J. Appl. Phys., 97, 053507, 2005.

[RT05a] F. Reitich et C. Turc. High-order solutions of three-dimensional rough-surface scattering problems at high-frequencies. I: the scalar case, Waves in Random and Complex Media 15, 1–16, 2005.

[RT05b] F. Reitich et C. Turc. High-order solutions of three-dimensional rough-surface scattering problems at high-frequencies. II: the vector electromagnetic case, Waves in Random and Complex Media 15, 323–337, 2005.

[VV00] D. Volkov et M. Vogelius. Asymptotic formulas for pertubations in the electromagnetic fields due to the presence of inhomogeneities of small diameter, Math. Model. Numer. Anal., 34(4), 723–748, 2000.