Journée Image et Géométrie

Journées "Image, EDP et Géométrie"

4 décembre 2009
10 décembre 2009
Salle 4 de l'Institut Fourier,
Grenoble

Les exposés présenteront des aspects théoriques et appliqués autour des surfaces et de l'imagerie.
Affiche de la journée du 4 décembre 2009.
Affiche de la journée du 10 décembre 2009.

Programme de la journée du 4 décembre 2009

9h15-10h15 :	Antoine Lemenant (Ecole Normale superieure de Pise) Quelques outils mathématiques mis en oeuvre pour résoudre un problème de segmentation d'image avec la fonctionnelle de Mumford et Shah.
10h15-11h30 :	Pause café.
11h30-12h30 :	Bruno Levy (INRIA de Lorraine) Génération automatique de maillages hex-dominants par optimisation d'une fonction objectif
12h30-14h15 :	Pause repas
14h15-15h15 :	Simon Masnou (Lyon I) Fonctionnelles non locales pour la restauration d'images.
15h30-16h30 :	Quentin Mérigot (INRIA Nice) Stabilité des mesures de courbure de Federer

Résumés

Antoine Lemenant (SNS Pisa) : Quelques outils mathématiques mis en oeuvre pour résoudre un problème de segmentation d'image avec la fonctionnelle de Mumford et Shah.
En 1989, D. Mumford et J. Shah ont proposé de minimiser une fonctionnelle pour résoudre le problème de segmentation d'image. Depuis lors, l'étude de la fonctionnelle et des propriétés mathématiques des minimiseurs n'a cessé de motiver l'enthousiasme de quelques mathématiciens. Certaines questions ouvertes sont toujours d'actualité aujourd'hui, y compris la conjecture sur la régularité en dimension 2 énoncée par Mumford et Shah il y a 20 ans. L'exposé sera à caractère introductif et historique sur le sujet. On essaiera de présenter les résultats fondateurs qui ont permis d'utiliser assez vite la fonctionnelle pour des applications pratiques (l'espace SBV pour montrer l'existence et la technique d'approximation à la Modica-Mortola avec le théorème de Gamma-convergence d'Ambrosio-Tortorelli). On parlera également de la quête de la régularité optimale avec les résultats partiels d'Ambrosio-Fusco-Pallara, David, Bonnet, du lien avec une conjecture de De Giorgi, et pour finir de quelques autres résultats et questions ouvertes en dimension plus grande que 2.

Bruno Levy (INRIA de Lorraine) : Génération automatique de maillages hex-dominants par optimisation d'une fonction objectif
Les maillages à base d'hexaèdres sont particulièrement utiles pour les simulations numériques de fluides, mais connus pour etre difficile à générer. Les méthodes fondées sur l'avancée d'un front à partir du bord se heurtent au problème de mailler la cavité résultant de la collision du front sur l'axe médian. Inversement, les méthodes fondées sur des octrees maillent l'intérieur de manière régulière, mais génèrent sur le bord du domaine un maillage fortement irrégulier.
Nous présentons l'algorithme de maillage VHD (Variational Hex Dominant), fondé sur la minimisation d'une fonction objectif globale $F$, dépendant de la position de tous les sommets du maillage volumique. La fonction $F$ est une généralisation de l'énergie de Lloyd, connue en théorie de l'échantillonage. En particulier, $F$ est définie de manière à pouvoir prendre en compte un champ d'anisotropie pré-défini, contraignant les directions préférentielles pour les aretes des hexaedres.

Simon Masnou (Lyon I) : Fonctionnelles non locales pour la restauration d'images.
La première partie de l'exposé portera sur certains modèles variationnels non locaux introduits récemment en restauration d'images. On s'intéressera ensuite plus particulièrement à un modèle dérivé d'un algorithme de restauration de parties manquantes, dont on examinera la capacité à bien restaurer la texture et la géométrie d'une image.

Quentin Mérigot (INRIA Nice) : Stabilité des mesures de courbure de Federer
Dans ce travail nous introduisons et étudions les mesures de bord d'un compact de l'espace Euclidien, qui sont étroitement reliées aux mesure de courbure introduites par Federer -- une notion courbure extrinsèque généralisée à une classe assez large de compacts de l'espace Euclidien. Notre but original est de faire de l'inférence géométrique, c'est-à-dire estimer des propriétés géométriques d'un 'objet' qu'on ne connaît qu'à travers un échantillon fini. Notre résultat principal est un théorème de stabilité qui permet d'utiliser les mesures de bord dans ce cadre: la mesure de Hausdorff d'un compact change peu lorsque celui-ci est remplacé par une approximation Hausdorff --- sans aucune hypothèse de régularité sur aucun des deux compacts. Ce théorème est quantitatif et optimal en un certain sens. En corollaire, on montre qu'il est possible d'approcher les mesures de courbure de Federer d'un compact (dans la classe considérée par Federer) à partir d'un échantillon fini suffisamment Hausdorff-proche. Les aspects algorithmiques du calcul seront brièvement discutés.
Travail commun avec D. Cohen-Steiner et F. Chazal.

Exposés du 10 décembre 2009

13h30

Pascal Monasse (IMAGINE, Ecole des Ponts ParisTech) Filtrage des images par mouvements par courbure et filtrages non réguliers
(travail conjoint avec Adina Ciomaga et Jean-Michel Morel)
Pour enlever le bruit dans les images, de nombreux filtres ont été proposés. Nous en ferons un panorama en insistant sur les mouvements par courbure. Après avoir montré l'inadéquation des filtres linéaires, nous nous intéresserons au filtre médian, qui n'est en fait qu'un schéma (simple mais peu précis) du mouvement par courbure moyenne. Nous en présenterons d'autres schémas, en particulier le lissage des lignes de niveau indépendamment les unes des autres. Nous utiliserons ce même procédé pour implémenter le filtrage invariant affine, qui est également un mouvement par courbure. Enfin, après un détour par les filtres de grain, nous parlerons brièvement de filtres plus récents, comme le filtre bilatéral et les filtres par moyennes non-locales.

15 h

Geovan Tavares (Matmidia Laboratory; Rio de Janeiro) Point Set Objects: Geometry, Dynamics and Applications

In this talk we deal with point set objects.The representation of point set objects is done by using implicit surface techniques with topological guarantees. Implicit surfaces and machine learning techniques can be put together to understand 3D reconstruction of oil reservoir from seismic data. Topology and geometry problems will be pointed out.
We also show how to model the dynamics of point set objects by combining lagrangian fluid representation with non-newtonian dynamics and hodge-helmholtz decomposition to model multiphase flow. Geometry an numerical problems are indicated. Also we will point out an application in turbidite geological formation.