Sommes de séries

Il n'y a pas beaucoup de séries pour l'instant dont vous connaissiez la somme, à part la série exponentielle, les séries géométriques. Il en existe bien d'autres. Voici par exemple deux résultats classiques, dont vous rencontrerez la justification ailleurs :

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$   et$$\quad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln(2)\;.$$

Vous aurez beaucoup plus de techniques à votre disposition après le chapitre sur les séries entières. En attendant, vous pourrez quand même calculer certaines sommes, en combinant celles que vous connaissez. Voici quelques exemples. Considérons la série $\sum 1/(n^2-1)$. C'est bien une série convergente, car son terme général est positif, et équivalent à $\frac{1}{n^2}$. Nous allons démontrer que :

$$\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^2-1} = \frac{3}{4}\;.$$

Utilisons la décomposition en éléments simples.

$$\frac{1}{n^2-1} = \frac{\frac{1}{2}}{n-1}-\frac{\frac{1}{2}}{n+1}$$

Par récurrence, on en déduit l'expression des sommes partielles.

$$s_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2n}-\frac{1}{2(n+1)}\;,$$

d'où le résultat.

En utilisant la même technique de décomposition en éléments simples, vous pourrez aussi calculer les sommes suivantes.

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2(n+1)} = \frac{\pi^2}{6}-1\;.$$

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3n^2+7n+6}{n(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{5}{3}\;.$$

Voici maintenant deux exemples de calcul de sommes que l'on ramène à une série géométrique. Pour le premier, nous revenons sur les développements décimaux. Si un nombre $x$ est rationnel, alors son développement décimal, obtenu en divisant deux entiers, est périodique. Réciproquement, si le développement décimal d'un réel est périodique, alors ce réel est un rationnel. Nous allons le calculer. Supposons que $x$ s'écrive :

$$x=0,\!a_1\ldots a_p a_1\ldots a_p \ldots$$

Le réel $x$ est la somme de la série suivante.

$$x=\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\frac{a_1}{10}+\cdots+\frac{a_p}{10^p}\right) \frac{1}{(10^p)^k}\;.$$

On retrouve la série géométrique $\sum r^k$, avec $r=10^{-p}$. On en déduit :

$$x=\left(\frac{a_1}{10}+\cdots+\frac{a_p}{10^p}\right)\frac{1}{1-10^{-p}}\;.$$

Soit $r$ tel que $\vert r\vert<1$. Nous allons montrer que

$$\sum_{n=0}^{+\infty} n r^n = \frac{r}{(1-r)^2}\;.$$

Pour cela écrivons :

$$\begin{array}{lcl} s &=& \displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty}... ... [2ex] &=& \displaystyle{ \frac{r}{1-r} +r s\;,} \end{array}$$

d'où le résultat, en résolvant cette équation en $s$. La même technique permet de montrer que :

$$\sum_{n=0}^{+\infty} n^2r^n = \frac{r^2+r}{(1-r)^3}\;.$$

Quand le terme général est le quotient d'un polynôme en $n$ par $n!$, on peut toujours se ramener à la série exponentielle. Si le polynôme est $n$, $n(n-1)$,..., la simplification est immédiate.

$$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{n!} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n-1)!}=\mathrm{e}\;.$$

$$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n(n-1)}{n!} = \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{(n-2)!}=\mathrm{e}\;.$$

Un polynôme en $n$ de degré $\geqslant 1$ peut toujours s'exprimer comme combinaison linéaire de $1$, $n$, $n(n-1)$,...  Par exemple,

$$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2}{n!} = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n(n-1)+n}{n!}=2\mathrm{e}\;.$$

Vous pourrez procéder de même pour calculer les sommes suivantes.

$$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2+2n-1}{n!} = 3\mathrm{e}\;.$$

$$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^3-n^2-n-1}{n!} = \mathrm{e}\;.$$